Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим пластины плоского воздушного конденсатора

Условие задачи:

Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим пластины плоского воздушного конденсатора с источником тока напряжением 6,3 В, при погружении конденсатора в керосин? Площадь пластины конденсатора 180 см², расстояние между пластинами 2 мм.

Задача №6.4.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U=6,3\) В, \(\varepsilon_2=2\), \(S=180\) см², \(d=2\) мм, \(q-?\)

Решение задачи:

Поскольку конденсатор всегда остается подключенным к источнику тока, то напряжение между его обкладками будет оставаться постоянным, то есть \(U=const\). Запишем следующую формулу электроемкости и выразим из нее напряжение:

\[C = \frac{q}{U}\]

\[U = \frac{q}{C}\]

Применим последнюю формулу к двум наблюдаемым в задаче случаям:

\[\left\{ \begin{gathered}
U = \frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} \hfill \\
U = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Искомый заряд \(q\), прошедший по соединительным проводам, равен разности конечного \(q_2\) и начального \(q_1\) заряда конденсатора. Конечный заряд конденсатора больше начального – это хорошо видно из вышеприведенной системы, так как электроемкость конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличится, а напряжение не изменится.

\[q = {q_2} – {q_1}\;\;\;\;(1)\]

Из верхнего равенства системы выразим начальный заряд конденсатора \(q_1\):

\[{q_1} = {C_1}U\;\;\;\;(2)\]

Также из системы следует следующее равенство:

\[\frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}}\]

Откуда конечный заряд \(q_2\) равен:

\[{q_2} = {q_1}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}\;\;\;\;(3)\]

Электроемкость плоского конденсатора в общем случае определяют по формуле:

\[C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\]

Используем последнюю формулу для определения начальной и конечной электроемкости нашего конденсатора:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{d} \hfill \\
{C_2} = \frac{{{\varepsilon _2}{\varepsilon _0}S}}{d} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Здесь \(\varepsilon _1\) – диэлектрическая проницаемость воздуха, равная 1, а \(\varepsilon _2\) – диэлектрическая проницаемость керосина, равная 2. Разделим нижнее равенство системы на верхнее, чтобы найти отношение \(\frac{C_2}{C_1}\):

\[\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}} = \frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

Тогда формула (3) примет следующий вид:

\[{q_2} = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

Подставим это выражение в формулу (1):

\[q = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}} – {q_1}\]

\[q = {q_1}\left( {\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}} – 1} \right)\]

\[q = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2} – {\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

Учитывая (2), имеем:

\[q = {C_1}U\frac{{{\varepsilon _2} – {\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

Мы уже приводили формулу нахождения начальной емкости конденсатора \(C_1\) (смотри систему выше). Если мы воспользуемся ей, то получим:

\[q = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{d}U\frac{{{\varepsilon _2} – {\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _1}}}\]

\[q = \frac{{{\varepsilon _0}\left( {{\varepsilon _2} – {\varepsilon _1}} \right)SU}}{d}\]

Поздравляю, задача решена. Чтобы найти численный ответ, нужно подставить значения физических величин в формулу, при этом обязательно переведя их в систему СИ, и произвести расчет:

\[q = \frac{{8,85 \cdot {{10}^{ – 12}} \cdot \left( {2 – 1} \right) \cdot 180 \cdot {{10}^{ – 4}} \cdot 6,3}}{{2 \cdot {{10}^{ – 3}}}} = 5 \cdot {10^{ – 10}}\;Кл = 500\;пКл\]

Ответ: 500 пКл.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.20 Воздушный конденсатор емкостью 4 мкФ подключен к источнику 10 В. Какой заряд
6.4.22 Во сколько раз увеличится электроемкость плоского конденсатора, пластины которого
6.4.23 Две пластины конденсатора площадью 2 дм2 находятся в керосине на расстоянии 4 мм