Два одинаковых конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику

Условие задачи:

Два одинаковых конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику напряжения 12 В. На сколько изменится разность потенциалов на одном из конденсаторов, если другой погрузить в жидкость с диэлектрической проницаемостью 2?

Задача №6.4.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U=12\) В, \(\varepsilon=2\), \(\Delta U-?\)

Решение задачи:

Пусть диэлектриком заполняется первый конденсатор, тогда нам необходимо найти изменение разности потенциалов в втором.

Изначально конденсаторы имели одинаковую емкость \(C_0\). Запишем формулу электроемкости для общего случая и выразим из этой формулы заряд \(q\):

\[C = \frac{q}{U}\]

\[q = CU\;\;\;\;(1)\]

Известно, что при последовательном соединении конденсаторов заряд на их обкладках одинаковый. Если воспользоваться формулой (1) и учесть тот факт, что конденсаторы имеют одинаковую емкость \(C_0\), то станет понятно, что напряжение на конденсаторах – одинаковое и равно некоторому \(U_1\). Также известно, что общее напряжение равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов, поэтому:

\[U = {U_1} + {U_1}\]

\[U = 2{U_1}\]

\[{U_1} = \frac{U}{2}\;\;\;\;(2)\]

Далее первый конденсатор заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\), отчего его емкость увеличивается и становится равной:

\[{C_1} = \varepsilon {C_0}\;\;\;\;(3)\]

Чтобы убедиться в достоверности этой формулы, Вам нужно записать формулу электроемкости плоского конденсатора.

Понятно, что напряжения на конденсаторах изменятся. Пусть теперь \(U_{11}\) – разность потенциалов между обкладками первого конденсатора, а \(U_2\) – разность потенциалов между обкладками второго. Проведя аналогичные рассуждения и пользуясь формулой (1), получим такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1}{U_{11}} = {C_0}{U_2} \hfill \\
U = {U_{11}} + {U_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из верхнего равенства системы выразим напряжение \(U_{11}\):

\[{U_{11}} = {U_2}\frac{{{C_0}}}{{{C_1}}}\]

Полученное выражение подставим в нижнее равенство системы:

\[U = {U_2}\frac{{{C_0}}}{{{C_1}}} + {U_2}\]

\[U = {U_2}\frac{{{C_0} + {C_1}}}{{{C_1}}}\]

\[{U_2} = \frac{{U{C_1}}}{{{C_0} + {C_1}}}\]

Принимая во внимание выражение (3), получим:

\[{U_2} = \frac{{\varepsilon U{C_0}}}{{{C_0} + \varepsilon {C_0}}}\]

\[{U_2} = \frac{{\varepsilon U}}{{\varepsilon + 1}}\;\;\;\;(4)\]

Искомое изменение разности потенциалов \(\Delta U\), очевидно, будем искать по такой формуле (понятно, что \({U_2} > {U_1}\)):

\[\Delta U = {U_2} – {U_1}\;\;\;\;(5)\]

Осталось только подставить (2) и (4) в (5):

\[\Delta U = \frac{{\varepsilon U}}{{\varepsilon + 1}} – \frac{U}{2}\]

Приведем под общий знаменатель:

\[\Delta U = \frac{{2\varepsilon U – U\left( {\varepsilon + 1} \right)}}{{2\left( {\varepsilon + 1} \right)}}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\Delta U = \frac{{2\varepsilon U – \varepsilon U – U}}{{2\left( {\varepsilon + 1} \right)}}\]

\[\Delta U = \frac{{\varepsilon U – U}}{{2\left( {\varepsilon + 1} \right)}}\]

\[\Delta U = \frac{{U\left( {\varepsilon – 1} \right)}}{{2\left( {\varepsilon + 1} \right)}}\]

Отлично, задача решена, теперь посчитаем ответ:

\[\Delta U = \frac{{12 \cdot \left( {2 – 1} \right)}}{{2\left( {2 + 1} \right)}} = 2\;В\]

Ответ: 2 В.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.29 Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены
6.4.31 Бумага пробивается при напряженности поля 18 кВ/см. Два плоских конденсатора с изолятором
6.4.32 Три конденсатора электроемкостью 0,1, 0,125 и 0,5 мкФ соединены последовательно