Условие задачи:
Батарея из 5 последовательно соединенных конденсаторов емкостью 4 мкФ каждый поддерживается при постоянном напряжении 60 кВ. Одна из банок пробивается. Определить работу разряда конденсаторов.
Задача №6.4.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(N=5\), \(C_0=4\) мкФ, \(U=60\) кВ, \(A-?\)
Решение задачи:
Работа разряда конденсаторов равна изменению энергии батареи конденсаторов, то есть:
\[A = {W_2} – {W_1}\;\;\;\;(1)\]
Здесь \(W_2\) – конечная энергия системы из \(\left( {N – 1} \right)\) конденсаторов (когда один из конденсаторов пробьется), а \(W_1\) – начальная энергия системы из \(N\) конденсаторов.
В общем случае при последовательном соединении \(N\) одинаковых конденсаторов емкостью \(C_0\) их общую электроемкость \(C\) можно находить по формуле:
\[C = \frac{{{C_0}}}{N}\]
Применительно к этой задаче это означает, что начальную и конечную электроемкость \(C_1\) и \(C_2\) можно найти по формулам:
\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{C_0}}}{N} \hfill \\
{C_2} = \frac{{{C_0}}}{{N – 1}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Поскольку батарею из конденсаторов поддерживают при одном и том же напряжении, то энергии \(W_1\) и \(W_2\) определим по следующим формулам:
\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{C_1}{U^2}}}{2} \hfill \\
{W_2} = \frac{{{C_2}{U^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Тогда:
\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2N}} \hfill \\
{W_2} = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2\left( {N – 1} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Формула (1) в таком случае примет вид:
\[A = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2\left( {N – 1} \right)}} – \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2N}}\]
Приведем под общий знаменатель:
\[A = \frac{{N{C_0}{U^2} – \left( {N – 1} \right){C_0}{U^2}}}{{2N\left( {N – 1} \right)}}\]
\[A = \frac{{N{C_0}{U^2} – N{C_0}{U^2} + {C_0}{U^2}}}{{2N\left( {N – 1} \right)}}\]
\[A = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2N\left( {N – 1} \right)}}\]
Задача решена, посчитаем численный ответ:
\[A = \frac{{4 \cdot {{10}^{ – 6}} \cdot {{\left( {60 \cdot {{10}^3}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot \left( {5 – 1} \right)}} = 360\;Дж = 0,36\;кДж\]
Обратите свое внимание, что энергия батареи увеличилась, то есть работу совершил источник напряжения, так как конденсаторы не могли сами увеличить свою энергию.
Ответ: 0,36 кДж.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
6.4.33 Три воздушных конденсатора емкостью 1 мкФ каждый соединены последовательно
6.4.35 Определить электроемкость одного конденсатора, если для зарядки батареи, составленной
6.4.36 Конденсаторы электроемкостью 1 и 2 мкФ заряжены до разности потенциалов 20 и 50 В
А почему в данной задаче напряжение не вычисляется, как 60кВ*кол-во конденсаторов, ведь U=U1+U2…?
В условии дано напряжение на батарее последовательно соединенных конденсаторов, т.е. на концах батареи, а не на каждом из конденсаторов, это следует различать.
Вообще, есть два способа нахождения энергии такой батареи, первый из них я показал в задаче (я нашел электроемкость батареи, а зная напряжение на ней, я нашёл энергию батареи конденсаторов). Но можно пойти другим путем. Вы знаете электроемкость одного конденсатора. Напряжение на одном из них равно (если в батарее \(N\) конденсаторов, и напряжение на батарее равно \(U\)):\[{U_0} = \frac{U}{N}\]Тогда энергию батареи можно найти как сумму энергий каждого конденсатора, то есть:\[W = N{W_0}\]А энергия каждого конденсатора равна:\[{W_0} = \frac{{{C_0}U_0^2}}{2}\]\[{W_0} = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2{N^2}}}\]Тогда:\[W = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2N}}\]Как видите, подходы разные, а ответ один и тот же. Надеюсь, на Ваш вопрос я ответил