Сопротивление медной проволоки при температуре 20 C равно 0,04 Ом

Условие задачи:

Сопротивление медной проволоки при температуре 20 °C равно 0,04 Ом. Когда по ней шел ток, ее сопротивление стало 0,044 Ом. Найти температуру проволоки.

Задача №7.1.20 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_1=20^\circ\) C, \(R_1=0,04\) Ом, \(R_2=0,044\) Ом, \(t_2-?\)

Решение задачи:

Понятно, что при протекании электрического тока через проволоку последняя нагревается, вследствие чего увеличивается ее сопротивление.

Известно, что зависимость сопротивления проводника от температуры описывается следующей формулой:

\[R = {R_0}\left( {1 + \alpha t} \right)\]

Здесь \(R\) — искомое сопротивление при температуре \(t\), \(R_0\) — сопротивление при температуре \(t_0\) (в данном случае \(t_0=0^\circ\) C), \(\alpha\) — температурный коэффициент сопротивления, равный для меди 0,0043 1/°C, \(t\) — температура (в градусах Цельсия), при которой нужно найти сопротивление проводника.

Известно, что сопротивление медного проводника при температуре \(t_1\) равно \(R_1\), а при температуре \(t_2\) равно \(R_2\), поэтому можем получить такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_1} = {R_0}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right) \hfill \\
{R_2} = {R_0}\left( {1 + \alpha {t_2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее равенство на нижнее, далее перемножим «крест-накрест»:

\[\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{{1 + \alpha {t_1}}}{{1 + \alpha {t_2}}}\]

\[{R_1}\left( {1 + \alpha {t_2}} \right) = {R_2}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right)\]

Разделим обе части полученного равенства на \(R_1\), тогда:

\[1 + \alpha {t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right)\]

Вычтем из обеих частей равенства единицу:

\[\alpha {t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {1 + \alpha {t_1}} \right) — 1\]

И теперь осталось только разделить обе части на \(\alpha\):

\[{t_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\left( {\frac{1}{\alpha } + {t_1}} \right) — \frac{1}{\alpha }\]

Поздравляем, задача решена в общем, теперь посчитаем численный ответ:

\[{t_2} = \frac{{0,044}}{{0,04}} \cdot \left( {\frac{1}{{0,0043}} + 20} \right) — \frac{1}{{0,0043}} = 45,3^\circ\;С = 318,3\;К\]

Ответ: 318,3 К.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.1.19 Определить сопротивление вольфрамовой нити электрической лампы при 24 C
7.1.21 При нагревании металлического проводника от 0 до 250 C его сопротивление увеличилось
7.1.22 До какой температуры нагревается нихромовая электрогрелка, если известно, что ток