Решение: Высота солнца над горизонтом 60°. Высота непрозрачного сосуда 25 см. На сколько

Условие задачи:

Высота солнца над горизонтом 60°. Высота непрозрачного сосуда 25 см. На сколько изменится длина тени на дне сосуда при освещении его солнечными лучами, если в сосуд налить воду до высоты 20 см?

Задача №10.3.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\gamma=60^\circ\), \(H=25\) см, \(h=20\) см, \(\Delta L-?\)

Решение задачи:

Если посмотреть на рисунок к задаче, то видно, что длину тени \(L_1\) в пустом сосуде можно найти по формуле:

\[{L_1} = H \cdot ctg\gamma\;\;\;\;(1)\]

Далее сосуд наполняют водой. Из-за того, что луч при переходе из воздуха в воду претерпевает преломление, то длина тени теперь будет короче (см. рисунок к задаче). При этом длину тени на дне сосуда можно определить как сумму:

\[L = {l_1} + {l_2}\;\;\;\;(2)\]

При этом из прямоугольных треугольников можно найти длины \(l_1\) и \(l_2\) по следующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{l_1} = \left( {H — h} \right) \cdot ctg\gamma \hfill \\
{l_2} = h \cdot tg\beta \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

То есть формула (1) примет вид:

\[{L_2} = \left( {H — h} \right) \cdot ctg\gamma + h \cdot tg\beta\;\;\;\;(2)\]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta\]

Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) — угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления воды \(n_2\) равен 1,33.

Так как из рисунка хорошо видно, что \(\alpha = 90^\circ — \gamma\), то:

\[{n_1}\sin \left( {90^\circ — \gamma } \right) = {n_2}\sin \beta \]

Поскольку \(\sin \left( {90^\circ — \gamma } \right) = \cos \gamma\), имеем:

\[{n_1}\cos \gamma = {n_2}\sin \beta \]

Тогда:

\[\sin \beta = \frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}\]

\[\beta = \arcsin \left( {\frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}} \right)\]

Полученное выражение подставим в формулу (2), тогда:

\[{L_2} = \left( {H — h} \right) \cdot ctg\gamma + h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}} \right)} \right)\]

Очевидно, что изменение длины тени следует искать по формуле:

\[\Delta L = {L_1} — {L_2}\]

Учитывая выражения (1) и (3), имеем:

\[\Delta L = H \cdot ctg\gamma — \left( {H — h} \right) \cdot ctg\gamma + h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}} \right)} \right)\]

\[\Delta L = h \cdot ctg\gamma — h \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_1}\cos \gamma }}{{{n_2}}}} \right)} \right)\]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\Delta L = 0,2 \cdot ctg60^\circ — 0,2 \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{1 \cdot \cos 60^\circ }}{{1,33}}} \right)} \right) = 0,0343\;м = 3,43\;см\]