Условие задачи:
С самолета, летящего на высоте 12 км, сфотографирована местность в масштабе 1:16000. Каково фокусное расстояние объектива?
Задача №10.5.68 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(d=12\) км, \(\Gamma=\frac{1}{16000}\), \(F-?\)
Решение задачи:
В фотоаппарате установлена собирающая линза, поскольку только она может давать действительное изображение. При этом, очевидно, что предмет расположен левее относительно переднего фокуса линзы (\({d} > {F}\)).
Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и уменьшенным (так как \({d} > {2F}\)).
Запишем формулу тонкой линзы:
\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).
Из подобия треугольников AOB и A1OB1 по трем углам следует, что (при этом эти две дроби ещё равны и поперечному увеличению (хотя в этом случае корректнее назвать уменьшением) линзы \(\Gamma\)):
\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{h}{H}\]
\[\Gamma = \frac{f}{d}\;\;\;\;(2)\]
Тогда из формулы (1) выразим неизвестное расстояние от линзы до изображения \(f\):
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{F} — \frac{1}{d}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{{d — F}}{{dF}}\]
\[f = \frac{{dF}}{{d — F}}\;\;\;\;(2)\]
Подставим выражение (3) в формулу (2):
\[\Gamma = \frac{{dF}}{{d\left( {d — F} \right)}}\]
\[\Gamma = \frac{F}{{d — F}}\]
Чтобы найти искомое фокусное расстояние фотоаппарата, нам нужно решить полученное уравнение:
\[F = \Gamma \left( {d — F} \right)\]
Раскроем скобки в правой части уравнения:
\[F = \Gamma d — \Gamma F\]
Перенесем все члены с \(F\) в левую сторону, тогда:
\[F + \Gamma F = \Gamma d\]
\[F\left( {1 + \Gamma } \right) = \Gamma d\]
Окончательно получим такое решение представленной задачи в общем виде:
\[F = \frac{{\Gamma d}}{{1 + \Gamma }}\]
Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):
\[F = \frac{{\frac{1}{{16000}} \cdot 12000}}{{1 + \frac{1}{{16000}}}} = 0,75\;м = 75\;см\]
Ответ: 75 см.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.67 Линзой пользуются как лупой. Первоначально изображение было в 4 раза больше
10.5.69 При фотографировании предмета с расстояния 1 м высота изображения равна 6 см
10.5.70 Светящаяся точка приближается к собирающей линзе вдоль ее главной оптической оси