Условие задачи:
Расстояние от предмета до экрана 5 м. Какой оптической силы надо взять линзу, чтобы получить изображение предмета, увеличенное в 4 раза?
Задача №10.5.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(z=5\) м, \(\Gamma = 4\), \(D-?\)
Решение задачи:
В задаче мы имеем дело с собирающей линзой, так как только с помощью такой линзы можно получить изображение на экране. При этом предмет должен находится левее переднего фокуса линзы, то есть \({d} > {F}\).
Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).
Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:
\[D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\]
В этой формуле \(D\) – оптическая сила линзы, это положительная величина, поскольку линза – собирающая, \(d\) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Приведем уравнение под общий знаменатель:
\[D = \frac{{d + f}}{{df}}\;\;\;\;(1)\]
Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A1OB1):
\[\Gamma = \frac{f}{d}\]
Тогда:
\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]
Тогда уравнение (1) примет вид:
\[D = \frac{{d + \Gamma d}}{{\Gamma {d^2}}}\]
\[D = \frac{{\Gamma + 1}}{{\Gamma d}}\;\;\;\;(3)\]
Из рисунка видно, что данное в условии расстояние между предметом и экраном (изображением) \(z\) можно выразить следующим образом:
\[z = d + f\;\;\;\;(4)\]
Учитывая (2), формулу (4) можно записать в виде:
\[z = d + \Gamma d\]
\[z = d\left( {\Gamma + 1} \right)\]
Откуда выразим расстояние от линзы до предмета \(d\):
\[d = \frac{z}{{\Gamma + 1}}\;\;\;\;(5)\]
Подставим выражение (5) в уравнение (3):
\[D = \frac{{\Gamma + 1}}{\Gamma } \cdot \frac{{\Gamma + 1}}{z}\]
Окончательно получим такое решение этой задачи в общем виде:
\[D = \frac{{{{\left( {\Gamma + 1} \right)}^2}}}{{\Gamma z}}\]
Посчитаем численный ответ задачи:
\[D = \frac{{{{\left( {4 + 1} \right)}^2}}}{{4 \cdot 5}} = 1,25\;дптр\]
Ответ: 1,25 дптр.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.20 Предмет и его прямое изображение, создаваемое тонкой собирающей линзой
10.5.22 Линза дает действительное изображение предмета с увеличением 3. Какое увеличение
10.5.23 Предмет находится на расстоянии 0,1 м от переднего фокуса собирающей линзы
спасибо!