Решение: Перед собирающей линзой с оптической силой 2,5 дптр на расстоянии 30 см находится

Условие задачи:

Перед собирающей линзой с оптической силой 2,5 дптр на расстоянии 30 см находится предмет высотой 20 см. Найти высоту изображения.

Задача №10.5.35 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(D=2,5\) дптр, \(d=30\) см, \(h=20\) см, \(H-?\)

Решение задачи:

Для построения изображения предмета необходимо вычислить фокусное расстояние линзы \(F\) по формуле:

\[F = \frac{1}{D}\]

\[F = \frac{1}{2,5} = 0,4\;м = 40\;см\]

Теперь мы знаем как расположен предмет относительно переднего фокуса линзы (\({d} < {F}\)).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. Так как лучи не пересекаются, то их нужно продлить влево. На пересечении продолжений этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[D = \frac{1}{d} — \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(D\) — оптическая сила линзы, это положительная величина, поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «-«, поскольку изображение — мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам следует, что (при этом эти две дроби ещё равны и поперечному увеличению линзы \(\Gamma\)):

\[\frac{H}{h} = \frac{f}{d}\]

Тогда искомую высоту изображения будем искать по формуле:

\[H = f\frac{h}{d}\;\;\;\;(2)\]

Тогда из формулы (1) нам нужно выразить расстояние от линзы до изображения \(f\):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d} — D\]

\[\frac{1}{f} = \frac{{1 — Dd}}{d}\]

\[f = \frac{d}{{1 — Dd}}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражение (3) в формулу (2):

\[H = \frac{d}{{1 — Dd}} \cdot \frac{h}{d}\]

\[H = \frac{h}{{1 — Dd}}\]

Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):