Решение: Определите оптическую силу линзы, если изображение предмета, помещенного перед

Условие задачи:

Определите оптическую силу линзы, если изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии 50 см, мнимое и уменьшенное в 3 раза.

Задача №10.5.48 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=50\) см, \(\Gamma = \frac{1}{3}\), \(D-?\)

Решение задачи:

Чтобы построить изображение точки A в рассеивающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пойдет дальше таким образом, что его продолжение влево пройдет через передний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и уменьшенным (\(\Gamma < 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[D = \frac{1}{d} — \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(D\) — оптическая сила линзы, она должна получится отрицательной, поскольку линза — рассеивающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «-«, поскольку изображение — мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в уравнение (1):

\[D = \frac{1}{d} — \frac{1}{{\Gamma d}}\]

Приведем в правой части под общий знаменатель и получим такое решение задачи в общем виде:

\[D = \frac{{\Gamma — 1}}{{\Gamma d}}\]

Численный ответ задачи равен:

\[D = \frac{{\frac{1}{3} — 1}}{{\frac{1}{3} \cdot 0,5}} = — 4\;дптр\]