Решение: Определить длину волны, падающей на дифракционную решетку, имеющую 400 штрихов

Условие задачи:

Определить длину волны, падающей на дифракционную решетку, имеющую 400 штрихов на 1 мм. Дифракционная решетка расположена на расстоянии 30 см от экрана. При освещении на экране оказалось, что расстояние между четвертыми линиями слева и справа от нулевой равно 80 см.

Задача №10.7.31 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=400\), \(l=1\) мм, \(L=30\) см, \(k=4\), \(a=80\) см, \(\lambda-?\)

Решение задачи:

Запишем формулу дифракционной решетки:

\[d\sin \varphi = k\lambda\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(d\) — период решетки (также называют постоянной решетки), \(\varphi\) — угол дифракции, \(k\) — порядок максимума (в данной задаче \(k=4\)), \(\lambda\) — длина волны, падающей нормально на решетку.

Период (постоянную) решетки \(d\) можно определить, разделив некоторую длину решетки \(l\) на количество содержащихся на этой длине штрихов \(N\), то есть:

\[d = \frac{l}{N}\;\;\;\;(2)\]

Подставим (2) в (1), тогда будем иметь:

\[\frac{l}{N}\sin \varphi = k\lambda \;\;\;\;(3)\]

Если расписать синус угла дифракции (см. рисунок к задаче), то имеем:

\[\frac{l}{N} \cdot \frac{{0,5a}}{{\sqrt {{L^2} + 0,25{a^2}} }} = k\lambda \]

Осталось из полученной формулы выразить искомую длину волны \(\lambda\):

\[\lambda = \frac{{0,5al}}{{kN\sqrt {{L^2} + 0,25{a^2}} }}\]

Задача решена в общем виде, подставим данные из условия в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\lambda = \frac{{0,5 \cdot 0,8 \cdot {{10}^{ — 3}}}}{{4 \cdot 400 \cdot \sqrt {{{0,3}^2} + 0,25 \cdot {{0,8}^2}} }} = 5 \cdot {10^{ — 7}}\;м = 500\;нм\]