Условие задачи:

На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки. Какова должна быть постоянная дифракционной решетки, чтобы в направлении 30° совпадали максимумы линий 656,3 и 410,2 нм?

Задача №10.7.23 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varphi=30^\circ\), \(\lambda_1=656,3\) нм, \(\lambda_2=410,2\) нм, \(d-?\)

Решение задачи:

Запишем формулу дифракционной решетки:

\[d\sin \varphi = k\lambda\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(d\) — период решетки (также называют постоянной решетки), \(\varphi\) — угол дифракции, \(k\) — порядок максимума, \(\lambda\) — длина волны, падающей нормально на решетку.

Запишем формулу (1) для световой волны с длиной волны \(\lambda_1\) и дифракционного максимума \(k_1\), а также для световой волны с длиной волны \(\lambda_2\) и дифракционного максимума \(k_2\). Не забываем, что дифракционная решетка одна и та же, а указанные дифракционные максимумы совпадают, т.е. углы дифракции также одинаковы.

\[\left\{ \begin{gathered}
d\sin \varphi = {k_1}{\lambda _1} \hfill \\
d\sin \varphi = {k_2}{\lambda _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из любого из этих уравнений мы можем найти искомую постоянную дифракционной решетки \(d\), например, вот так:

\[d = \frac{{{k_1}{\lambda _1}}}{{\sin \varphi }}\]

Понятно, что нам неизвестен порядок дифракционного максимума \(k_1\), но его можно определить. Из системы уравнений следует, что:

\[{k_1}{\lambda _1} = {k_2}{\lambda _2}\]

Тогда:

\[\frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = \frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}}\]

\[\frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} = \frac{{656,3 \cdot {{10}^{ — 9}}}}{{410,2 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = \frac{8}{5}\]

Так как \(k_1\) и \(k_2\) — целые, то найденному выше условию удовлетворяют многие пары, например, \(k_1=5\) и \(k_2=8\) или \(k_1=10\) и \(k_2=16\) и т.д. Выберем такую пару, чтобы искомая постоянная дифракционной решетки получилась минимальной, то есть \(k_1=5\) и \(k_2=8\). Тогда:

\[d = \frac{{5 \cdot 656,3 \cdot {{10}^{ — 9}}}}{{\sin 30^\circ }} = 656,3 \cdot {10^{ — 8}}\;м = 6,56\;мкм\]

Ответ: 6,56 мкм.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.7.22 Определить длину волны для линии в дифракционном спектре второго порядка
10.7.24 Период дифракционной решетки равен 1,5 мкм. Чему равна ширина прозрачных щелей
10.7.25 Определите оптическую разность хода волн длиной 540 нм, падающих на дифракционную