Решение: В однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией B=60 мТл находится

Условие задачи:

В однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией \(B=60\) мТл находится вертикальная Н-образная конструкция из толстых металлических стержней, перпендикулярная вектору поля. По стержням свободно скользит проводник длиной \(l=50\) см, массой 1 г и сопротивлением 0,8 Ом. С какой скоростью движется проводник?

Задача №8.4.44 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(B=60\) мТл, \(l=50\) см, \(m=1\) г, \(R=0,8\) Ом, \(\upsilon-?\)

Решение задачи:

Итак, вполне понятно, что проводник в начале будет скользить вниз под действием силы тяжести. Поскольку скользящий проводник находится в горизонтальном магнитном поле, значит в нем будет возникать ЭДС индукции \(\rm E_i\), равная:

\[{{\rm E}_i} = B\upsilon l\]

Из-за возникающей ЭДС индукции \(\rm E_i\) в цепи будет течь ток, который можно определить, используя закон Ома (сопротивление вертикальной Н-образной конструкции мало, поскольку она сделана из толстых металлических стержней). Направление тока — против часовой стрелки (смотрите рисунок к решению) — чтобы это доказать, нужно выделить в проводнике положительный заряд и узнать направление действующей на него силы Лоренца. Направление тока совпадает с направлением силы Лоренца, действующей на положительный заряд.

\[I = \frac{{{{\rm E}_i}}}{R}\]

То есть имеем:

\[I = \frac{{B\upsilon l}}{R}\;\;\;\;(1)\]

Из-за того, что в проводнике потечет ток, на него станет действовать сила Ампера \(F_А\), причем она будет направлена вертикально вверх согласно правилу левой руки. Её значение можно найти по формуле:

\[{F_А} = IBl\]

Учитывая (1), имеем:

\[{F_А} = \frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Интересно, что начальное ускоренное движение проводника под действием силы тяжести \(mg\) быстро сменится на равномерное из-за дополнительного действия силы Ампера \(F_А\), поскольку чем быстрее движется проводник (т.е. чем больше ЭДС индукции), тем выше индукционный ток в конструкции, и тем выше сила Ампера \(F_А\), тормозящая движение проводника. Для равномерного движения проводника применим первый закон Ньютона:

\[{F_А} = mg\]

Принимая во внимание (2), получим:

\[\frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R} = mg\]

Откуда скорость движения проводника \(\upsilon\) равна:

\[\upsilon = \frac{{mgR}}{{{B^2}{l^2}}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[\upsilon = \frac{{{{10}^{ — 3}} \cdot 10 \cdot 0,8}}{{{{\left( {60 \cdot {{10}^{ — 3}}} \right)}^2} \cdot {{0,5}^2}}} = 8,89\;м/с\]