Решение: Контур площадью 2 м2 и сопротивлением 0,003 Ом находится в однородном поле

Условие задачи:

Контур площадью 2 м² и сопротивлением 0,003 Ом находится в однородном поле, магнитная индукция которого возрастает на 0,5 мТл за 1 с. Определить максимальное количество теплоты, выделяющееся в контуре за 1 час.

Задача №8.4.46 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=2\) м², \(R=0,003\) Ом, \(\Delta B=0,5\) мТл, \(\Delta t=1\) с, \(\tau=1\) ч, \(Q-?\)

Решение задачи:

Количество теплоты \(Q\), выделяющееся в контуре за время \(\tau\) при протекании по нему электрического тока, можно определить по такой формуле:

\[Q = {I^2}R\tau \;\;\;\;(1)\]

Силу индукционного тока в контуре \(I\) будем искать, используя закон Ома:

\[I = \frac{{\rm E_i}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

\[Q = \frac{{{\rm E}_i^2}}{R}\tau \;\;\;\;(3)\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\;\;\;\;(4)\]

Следует отметить, что для определения мгновенного значения ЭДС индукции по этой формуле интервал времени \(\Delta t\) должен стремиться к нулю, в противном случае Вы получите среднее значение ЭДС индукции. Будем считать, что в нашем случае магнитный поток изменялся равномерно, поэтому интервал времени \(\Delta t\) может быть каким угодно — среднее и мгновенное значения ЭДС индукции в таком случае будут одинаковы.

Модуль изменения магнитного потока \(\Delta \Phi\) будем определять по формуле (изменение магнитного потока происходило за счёт изменения величины магнитной индукции):

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \alpha \]

Здесь угол \(\alpha\) — угол между нормалью к контуру и вектором магнитной индукции. Максимальное количество теплоты в контуре будет выделяться при \(\cos \alpha = 1\), то есть при \(\alpha = 0^\circ\).

Тогда:

\[\Delta \Phi = \Delta BS \]

Полученное выражение подставим в (4):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta BS}}{{\Delta t}}\]

А это выражение подставим в (3):

\[Q = \frac{{\Delta {B^2}{S^2}\tau }}{{\Delta {t^2}R}}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем ответ:

\[Q = \frac{{{{\left( {0,5 \cdot {{10}^{ — 3}}} \right)}^2} \cdot {2^2} \cdot 3600}}{{{1^2} \cdot 0,003}} = 1,2\;Дж\]