Электрон, прошедший некоторую разность потенциалов, влетает в однородное магнитное

Условие задачи:

Электрон, прошедший некоторую разность потенциалов, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,01 Тл перпендикулярно магнитным силовым линиям. В магнитном поле он движется по окружности, радиус которой 100 мм. Определить разность потенциалов, которую прошел электрон.

Задача №8.2.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(B=0,01\) Тл, \(\alpha=90^\circ\), \(R=100\) мм, \(U-?\)

Решение задачи:

Чтобы найти какой разностью потенциалов \(U\) был ускорен электрон, запишем закон сохранения энергии:

\[eU = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

Откуда:

\[U = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{{2e}} \;\;\;\;(1)\]

Масса электрона \(m_e\) равна 9,1·10^-31 кг, а модуль его заряда \(e\) равен 1,6·10^-19 Кл.

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца \(F_Л\), которую определяет следующая формула:

\[{F_Л} = B\upsilon e\sin \alpha \;\;\;\;(2)\]

Здесь \(B\) — индукция магнитного поля, \(\upsilon\) — скорость электрона, \(e\) — модуль заряда электрона, \(\alpha\) — угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда, как в нашем случае), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена влево.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает электрону центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = {m_e}{a_ц}\;\;\;\;(3)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(5)\]

Приравняем правые части (2) и (5):

\[B\upsilon e\sin \alpha = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Be\sin \alpha = \frac{{{m_e}\upsilon }}{R}\]

Откуда скорость электрона \(\upsilon\) равна:

\[\upsilon = \frac{{BeR\sin \alpha }}{{{m_e}}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (1):

\[U = \frac{{{m_e}}}{{2e}} \cdot \frac{{{B^2}{e^2}{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{m_e^2}}\]

\[U = \frac{{{B^2}e{R^2}{{\sin }^2}\alpha }}{{2{m_e}}}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ задачи:

\[U = \frac{{{{0,01}^2} \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ — 19}} \cdot {{0,1}^2} \cdot {{\sin }^2}90^\circ }}{{2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}}}} = 87912,1\;В \approx 87,9\;кВ\]

Ответ: 87,9 кВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.2.20 Электрон, движущийся со скоростью 10^7 м/с, влетает в однородное магнитное поле
8.2.22 Если конденсатор с расстоянием между пластинами 1 см определенным образом
8.2.23 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 2 мТл по винтовой линии радиусом