Решение: Во сколько раз линейная скорость движения электрона по первой орбите атома водорода

Условие задачи:

Во сколько раз линейная скорость движения электрона по первой орбите атома водорода (\(R=0,53 \cdot 10^{-10}\) м) больше скорости движения самолета ИЛ-62 (\(u=800\) м/с)?

Задача №11.4.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=0,53 \cdot 10^{-10}\) м, \(u=800\) м/с, \(\frac{\upsilon}{u}-?\)

Решение задачи:

В модели атома Резерфорда отрицательно заряженный электрон вращается вокруг положительно заряженного ядра атома с некоторой скоростью \(\upsilon\). По условию задачи радиус орбиты электрона равен \(R\). Ядро атома водорода есть протон (нейтронов там нет, так как это не изотоп), заряд которого по модулю равен заряду электрона (\(e=1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл). Получается, что сила кулоновского взаимодействия зарядов электрона и протона создает центростремительное ускорение электрона, поэтому из второго закона Ньютона справедливо записать:

\[\frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{R}\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл², \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Тогда сократив по радиусу \(R\) в знаменателях, имеем:

\[\frac{{k{e^2}}}{R} = {m_e}{\upsilon ^2}\]

Откуда скорость вращения электрона по орбите \(\upsilon\) равна:

\[\upsilon = e\sqrt {\frac{k}{{{m_e}R}}} \]

Поэтому искомое отношение скорости электрона \(\upsilon\) к скорости самолета ИЛ-62 \(u\) равно:

\[\frac{\upsilon }{u} = \frac{e}{u}\sqrt {\frac{k}{{{m_e}R}}} \]

Задача решена в общем виде, теперь произведем расчет численного ответа:

\[\frac{\upsilon }{u} = \frac{{1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}}}{{800}}\sqrt {\frac{{9 \cdot {{10}^9}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ — 31}} \cdot 0,53 \cdot {{10}^{ — 10}}}}} = 2732\]