Решение: При удвоении частоты падающего на металл света задерживающее напряжение для фотоэлектронов

Условие задачи:

При удвоении частоты падающего на металл света задерживающее напряжение для фотоэлектронов увеличивается в 5 раз. Частота первоначально падающего света 5·10¹⁴ Гц. Определите длину волны света, соответствующую красной границе для этого металла.

Задача №11.2.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\nu_2=2\nu_1\), \(U_{з2}=5U_{з1}\), \(\nu_1=5 \cdot 10^{15}\) Гц, \(\lambda_{\max}-?\)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного кванта \(h\nu\) идет на совершение работы выхода \(A_{вых}\) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону \(\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\). Поэтому:

\[h\nu = {A_{вых}} + \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Если изменить полярность источника напряжения в установке для исследования фотоэффекта, то электрическое поле между катодом и анодом будет тормозить фотоэлектроны. При задерживающем напряжении \(U_з\) фототок становится равным нулю. При этом по закону сохранения энергии справедливо равенство:

\[\frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} = e{U_з}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(m_e\) — масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг, \(e\) — модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл.

Принимая во внимание равенство (2), уравнение (1) примет вид:

\[h\nu = {A_{вых}} + e{U_з}\]

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии задачи:

\[\left\{ \begin{gathered}
h{\nu _1} = {A_{вых}} + e{U_{з1}} \hfill \\
h{\nu _2} = {A_{вых}} + e{U_{з2}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как по условию задачи \(\nu_2=2\nu_1\) и \(U_{з2}=5U_{з1}\), имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
h{\nu _1} = {A_{11}} + e{U_{з1}} \;\;\;\;(3)\hfill \\
2h{\nu _1} = {A_{11}} + 5e{U_{з1}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вычтем из нижнего уравнения верхнее, тогда:

\[h{\nu _1} = 4e{U_{з1}}\]

\[e{U_{з1}} = \frac{1}{4}h{\nu _1}\]

Полученное равенство подставим в уравнение (3), тогда:

\[h{\nu _1} = {A_{вых}} + \frac{1}{4}h{\nu _1}\]

\[{A_{вых}} = \frac{3}{4}h{\nu _1}\;\;\;\;(4)\]

Работа выхода \(A_{вых}\) — это минимальная работа, которую надо совершить, чтобы удалить электрон из металла.

Минимальная частота света \({\nu _{\min }}\), при которой ещё возможен фотоэффект, соответствует максимальной длине волны \(\lambda_{\max}\). Эту длину волны \(\lambda_{\max}\) называют красной границей фотоэффекта. При этом верно записать:

\[h{\nu _{\min }} = {A_{вых}}\;\;\;\;(5)\]

В этой формуле \(h\) — это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Частоту колебаний можно выразить через скорость света \(c\), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны по следующей формуле:

\[\nu_{\min} = \frac{c}{\lambda_{\max}}\;\;\;\;(6)\]

Подставим выражение (6) в формулу (5), тогда:

\[\frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}}} = {A_{вых}}\;\;\;\;(7)\]

Учитывая (4) и (7), имеем:

\[\frac{3}{4}h{\nu _1} = \frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}}}\]

\[\frac{3}{4}{\nu _1} = \frac{c}{{{\lambda _{\max }}}}\]

Окончательно получим:

\[{\lambda _{\max }} = \frac{{4c}}{{3{\nu _1}}}\]

Посчитаем численный ответ: