Решение: Параметры контуров таковы: C1=120 пФ, L1=3,5 мГн, C2=150 пФ, L2=5 мГн. На сколько

Условие задачи:

Параметры контуров таковы: $C_1=120$ пФ, $L_1=3,5$ мГн, $C_2=150$ пФ, $L_2=5$ мГн. На сколько нужно изменить емкость $C_2$ , чтобы контуры были настроены в резонанс?

Задача №9.12.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$C_1=120$ пФ, $L_1=3,5$ мГн, $C_2=150$ пФ, $L_2=5$ мГн, $\Delta C-?$

Решение задачи:

Собственную частоту колебаний колебательного контура можно определить по формуле:

$\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}$

В этой формуле $L$ — индуктивность катушки, $C$ — электроемкость конденсатора.

Контуры будут настроены в резонанс, если частоты их колебаний будут равны. Учитывая, что в условии сказано, что емкость конденсатора $C_2$ для настройки в резонанс нужно будет изменить, запишем:

$\frac{1}{{2\pi \sqrt {{L_1}{C_1}} }} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {{L_2}\left( {{C_2} + \Delta C} \right)} }}$

Тогда:

${L_1}{C_1} = {L_2}\left( {{C_2} + \Delta C} \right)$

Раскроем скобки в правой части:

${L_1}{C_1} = {L_2}{C_2} + {L_2}\Delta C$

Выразим искомое изменение емкости конденсатора $\Delta C$ :

${L_2}\Delta C = {L_1}{C_1} — {L_2}{C_2}$

$\Delta C = \frac{{{L_1}{C_1} — {L_2}{C_2}}}{{{L_2}}}$

Посчитаем численный ответ:

$\Delta C = \frac{{3,5 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 120 \cdot {{10}^{ — 12}} — 5 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 150 \cdot {{10}^{ — 12}}}}{{5 \cdot {{10}^{ — 3}}}} = — 66 \cdot {10^{ — 12}}\;Ф = — 66\;пФ$

Знак «минус» показывает, что емкость второго конденсатора нужно уменьшать.