Условие задачи:
Три воздушных конденсатора электроемкостью 1 мкФ каждый соединены параллельно. Конденсаторы отключены от источника ЭДС. Заряд этой батареи равен 1 мКл. Пространство между обкладками одного из конденсаторов заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 2. Определить энергию, запасенную в батарее после заполнения конденсатора диэлектриком.
Задача №6.4.58 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(C_0=1\) мкФ, \(q_0=1\) мКл, \(\varepsilon=2\), \(W-?\)
Решение задачи:
Пусть диэлектриком заполняют третий конденсатор. Вполне очевидно, что его электроемкость \(C\) после этого действия увеличится, и ее можно найти по такой формуле:
\[C = \varepsilon {C_0}\;\;\;\;(1)\]
Примем заряд первых двух конденсаторов после заполнения третьего диэлектриком равным \(q\) (а их заряд должен быть одинаковым), а третьего – \(Q\). Так как конденсаторы соединены параллельно, что в конце напряжения на них должны быть одинаковыми, поэтому выполняется такое равенство:
\[\frac{q}{{{C_0}}} = \frac{Q}{C}\]
Откуда:
\[Q = q\frac{C}{{{C_0}}}\]
Учитывая (1), имеем:
\[Q = \varepsilon q\;\;\;\;(2)\]
Так как конденсаторы отключены от источника ЭДС, то должен выполняться закон сохранения, который применительно к данной задаче запишется в виде:
\[{q_0} = 2q + Q\]
Подставим в полученное равенство выражение (2):
\[{q_0} = 2q + \varepsilon q\]
\[{q_0} = q\left( {2 + \varepsilon } \right)\]
\[q = \frac{{{q_0}}}{{2 + \varepsilon }}\;\;\;\;(3)\]
Искомую энергию \(W\) будем искать по такой формуле, где \(W_1\) – энергия первого и второго конденсатора, а \(W_2\) – третьего:
\[W = 2{W_1} + {W_2}\;\;\;\;(4)\]
Указанные энергии можно определить следующим образом:
\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{q^2}}}{{2{C_0}}} \hfill \\
{W_2} = \frac{{{Q^2}}}{{2C}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Тогда формула (4) станет такой:
\[W = \frac{{{q^2}}}{{{C_0}}} + \frac{{{Q^2}}}{{2C}}\]
Воспользуемся формулами (1) и (2):
\[W = \frac{{{q^2}}}{{{C_0}}} + \frac{{{\varepsilon ^2}{q^2}}}{{2\varepsilon {C_0}}}\]
\[W = \frac{{{q^2}}}{{{C_0}}} + \frac{{\varepsilon {q^2}}}{{2{C_0}}}\]
\[W = \frac{{{q^2}\left( {2 + \varepsilon } \right)}}{{2{C_0}}}\]
Остается также использовать выражение (3):
\[W = \frac{{q_0^2\left( {2 + \varepsilon } \right)}}{{2{{\left( {2 + \varepsilon } \right)}^2}{C_0}}}\]
Окончательно получим такое решение задачи в обще виде:
\[W = \frac{{q_0^2}}{{2\left( {\varepsilon + 2} \right){C_0}}}\]
Посчитаем численный ответ:
\[W = \frac{{{{10}^{ – 6}}}}{{2 \cdot \left( {2 + 2} \right) \cdot {{10}^{ – 6}}}} = 0,125\;Дж\]
Ответ: 0,125 Дж.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
6.4.57 Определить количество электрической энергии, перешедшей в тепло при соединении одноименно
6.4.59 Плоский конденсатор имеет в качестве изолирующего слоя пластинку из слюды толщиной
6.4.60 Два одинаковых плоских конденсатора электроемкостью 1 мкФ соединены параллельно