Решение: Электрон с начальной скоростью 2000 км/с, двигаясь в поле плоского конденсатора

Условие задачи:

Электрон с начальной скоростью 2000 км/с, двигаясь в поле плоского конденсатора вдоль линий напряженности, полностью теряет скорость на пути 3 см. Какова разность потенциалов между обкладками, если расстояние между ними 5 см?

Задача №6.3.33 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_0=2000\) км/с, \(\upsilon=0\) м/с, \(S=3\) см, \(d=5\) см, \(\Delta \varphi – ?\)

Решение задачи:

Пусть обкладки конденсатора заряжены так, как показано на схеме. Тогда чтобы электрон постепенно замедлялся при движении в конденсаторе, напряженность поля внутри конденсатора должна быть направлена слева направо, поскольку в этом случае действующая на него сила (и ускорение) будут направлены справа налево, т.е против скорости электрона.

Поле конденсатора совершит отрицательную работу, величину которой можно найти по формуле:

\[A = – FS\]

Электрическую силу \(F\) (точнее, её модуль) легко найти из напряженности поля конденсатора \(E\) и модуля заряда электрона \(e\) (он равен 1,6·10^-19 Кл) следующим образом:

\[F = Ee\]

Тогда:

\[A = – EeS \;\;\;\;(1)\]

Также работу поля можно определить как изменение кинетической энергии электрона:

\[A = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2} – \frac{{{m_e}\upsilon _0^2}}{2}\]

Поскольку в условии сказано, что электрон в конце полностью потеряет скорость, т.е. \(\upsilon=0\), имеем:

\[A = – \frac{{{m_e}\upsilon _0^2}}{2}\;\;\;\;(2)\]

Теперь приравняем (1) и (2) и из полученного равенства выразим напряженность поля:

\[ – EeS = – \frac{{{m_e}\upsilon _0^2}}{2}\]

\[E = \frac{{{m_e}\upsilon _0^2}}{{2eS}}\;\;\;\;(3)\]

Разность потенциалов между обкладками конденсатора \(\Delta \varphi\) и напряженность поля конденсатора связаны друг с другом соотношением:

\[E = \frac{{\Delta \varphi }}{d}\]

Значит:

\[\Delta \varphi = Ed\]

Учитывая (3), получим окончательную формулу для нахождения ответа этой задачи:

\[\Delta \varphi = \frac{{{m_e}\upsilon _0^2d}}{{2eS}}\]

Считаем ответ:

\[\Delta \varphi = \frac{{9,1 \cdot {{10}^{ – 31}} \cdot {{\left( {2000 \cdot {{10}^3}} \right)}^2} \cdot 0,05}}{{2 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ – 19}} \cdot 0,03}} = 18,96\;В \approx 19\;В\]