Решение: Два маленьких одинаковых шарика находятся на расстоянии 0,2 м и притягиваются

Условие задачи:

Два маленьких одинаковых шарика находятся на расстоянии 0,2 м и притягиваются с силой 4 мН. Шарики на малый промежуток времени соединили проволокой. После этого они стали отталкиваться с силой 2,25 мН, находясь на том же расстоянии. Определить отношение заряда первого шарика к заряду второго шарика.

Задача №6.1.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$R=0,2$ м, $F_0=4$ мН, $F=2,25$ мН, $\frac{q_1}{q_2}-?$

Решение задачи:

Так как сначала шарики притягивались, значит они изначально имели разноимённые заряды (например, первый имел отрицательный, а второй — положительный, хотя это и не важно). После соединения их проволокой они стали отталкиваться, значит в результате перераспределения зарядов на шариках оказались заряды одного знака (например, отрицательного, если заряд второго шарика был меньше модуля заряда первого).

Поскольку в законе Кулона фигурируют модули зарядов, то будем работать с ними. Пусть $q_1$ — модуль заряда первого шарика, а $q_2$ — модуль заряда второго шарика. В задаче нам нужно найти отношение модулей зарядов $\frac{q_1}{q_2}$ , потому что, итак, понятно, что отношение заряда первого шарика к заряду второго шарика будет отрицательным.

Согласно закону Кулона силу притяжения шариков $F_0$ вследствие взаимодействия зарядов можно найти следующим образом:

${F_0} = \frac{{k{q_1}{q_2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(1)$

Здесь $k$ — коэффициент пропорциональности, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл².

После соединения шариков проволокой на каждом их них окажется одинаковый заряд $q$ , определяемый по формуле:

$q = \frac{{ — {q_1} + {q_2}}}{2}$

Внимание! Знак «минус» перед $q_1$ появился из-за того, что $q_1$ — это модуль заряда первого шарика, а мы условились, что этот заряд отрицательный!

Тогда силу отталкивания шариков $F$ определим по формуле:

$F = \frac{{k{q^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{k{{\left( {{q_2} — {q_1}} \right)}^2}}}{{4{R^2}}}\;\;\;\;(2)$

Поделим (2) на (1), тогда получим:

$\frac{{{{\left( {{q_2} — {q_1}} \right)}^2}}}{{4{q_1}{q_2}}} = \frac{F}{{{F_0}}}$

Поделим числитель и знаменатель дроби в левой части на $q_2^2$ :

$\frac{{{{\left( {1 — \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)}^2}}}{{4\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}}} = \frac{F}{{{F_0}}}$

$1 — 2\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} + {\left( {\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)^2} = 4\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}\frac{F}{{{F_0}}}$

${\left( {\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)^2} — \left( {2 + 4\frac{F}{{{F_0}}}} \right)\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\frac{q_1}{q_2}$ , для этого найдём дискриминант:

$D = {\left( {2 + 4\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} — 4 = 4 + 16\frac{F}{{{F_0}}} + 16{\left( {\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} — 4$

$D = 16{\left( {\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} + 16\frac{F}{{{F_0}}} = 16\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)$

Тогда:

$\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \frac{{2 + 4\frac{F}{{{F_0}}} \pm \sqrt {16\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)} }}{2}$

$\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 1 + 2\frac{F}{{{F_0}}} \pm 2\sqrt {\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)}$

Уже можно посчитать ответ:

$\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 1 + 2\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ — 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ — 3}}}} \pm 2\sqrt {\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ — 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ — 3}}}}\left( {\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ — 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ — 3}}}} + 1} \right)}$