Решение: Алюминиевый чайник массой 0,4 кг, в котором находится 2 кг воды при 10 C

Условие задачи:

Алюминиевый чайник массой 0,4 кг, в котором находится 2 кг воды при 10 °C, помещают на газовую горелку с КПД 40%. Какова мощность горелки, если через 10 мин вода закипела, причем 20 г воды выкипело?

Задача №5.2.35 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=0,4\) кг, \(m_2=2\) кг, \(t_2=10^\circ\) C, \(\eta=40\%\), \(\tau=10\) мин, \(\Delta m=20\) г, \(N-?\)

Решение задачи:

КПД горелки \(\eta\) определяют как отношение её полезной работы \(A_п\) к затраченной работе \(A_з\).

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\;\;\;\;(1)\]

Полезную работу горелки \(A_п\) можно найти как следующую сумму:

\[{A_п} = {Q_1} + {Q_2} + {Q_3}\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(Q_1\) — количество теплоты, необходимое для нагревания алюминиевого чайника массой \(m_1\) от температуры \(t_2\) до температуры кипения воды \(t_к\) (\(t_к=100^\circ\) C); \(Q_2\) — количество теплоты, необходимое для нагревания воды массой \(m_2\) от температуры \(t_2\) до температуры кипения \(t_к\); \(Q_3\) — количество теплоты, необходимое для парообразования части воды массой \(\Delta m\).

Если расписать все перечисленные количества теплоты по формулам, тогда формула (2) примет такой вид:

\[{A_п} = {c_1}{m_1}\left( {{t_к} — {t_2}} \right) + {c_2}{m_2}\left( {{t_к} — {t_2}} \right) + L\Delta m\]

\[{A_п} = \left( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right)\left( {{t_к} — {t_2}} \right) + L\Delta m\;\;\;\;(3)\]

Удельная теплоёмкость алюминия \(c_1\) равна 880 Дж/(кг·°C), удельная теплоёмкость воды \(c_2\) равна 4200 Дж/(кг·°C), удельная теплота парообразования воды \(L\) равна 2,26 МДж/кг.

Затраченную работу горелки \(A_з\) выразим через искомую мощность \(N\) и время работы \(\tau\):

\[{A_з} = N\tau \;\;\;\;(4)\]

Подставим выражения (3) и (4) в формулу (1):

\[\eta = \frac{{\left( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right)\left( {{t_к} — {t_2}} \right) + L\Delta m}}{{N\tau }}\]

\[N = \frac{{\left( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} \right)\left( {{t_к} — {t_2}} \right) + L\Delta m}}{{\eta \tau }}\]

Мы получили решение задачи в общем виде. Теперь переведём КПД \(\eta\) в доли единицы, время \(\tau\) — в секунды, а массу \(\Delta m\) — в килограммы:

\[40\% = 0,4\]

\[10\;мин = 600\;с\]

\[20\;г = 0,02\;кг\]

Посчитаем ответ:

\[N = \frac{{\left( {880 \cdot 0,4 + 4200 \cdot 2} \right)\left( {100 — 10} \right) + 2,26 \cdot {{10}^6} \cdot 0,02}}{{0,4 \cdot 600}} = 3470\;Вт\]