Решение: Цилиндр плавает в вертикальном положении в сосуде с водой. В сосуд подливают более

Условие задачи:

Цилиндр плавает в вертикальном положении в сосуде с водой. В сосуд подливают более легкую жидкость слоем толщиной 20 см так, что она не доходит до верха цилиндра. При этом высота части цилиндра, находящейся в воде, уменьшается на 16 см. Чему равна плотность лёгкой жидкости?

Задача №3.3.44 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(H=20\) см, \(\Delta h = 16\) см, \(\rho_1 – ?\)

Решение задачи:

Цилиндр плавает в обоих случаях, запишем условие плавание тела для этих случаев (смотрите схему):

\[\left\{ \begin{gathered}
{F_{Ав1}} = mg \hfill \\
{F_{Ав2}} + {F_{А}} = mg \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Распишем силы Архимеда по известной формуле:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\rho _в}g{V_{п1}} = mg \hfill \\
{\rho _в}g{V_{п2}} + {\rho _1}g{V_1} = mg \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Допустим изначально цилиндр плавал в воде, погрузившись на высоту \(h_1\). Из условия понятно, что после подлива более легкой жидкости высотой \(H\), в воду будет погружена высота цилиндра, равная \(\left( {{h_1} – \Delta h} \right)\). Тогда можно заменить все объемы произведениями площади поперечного сечения \(S\) на соответствующую высоту.

\[\left\{ \begin{gathered}
{\rho _в}gS{h_1} = mg \hfill \\
{\rho _в}gS\left( {{h_1} – \Delta h} \right) + {\rho _1}gSH = mg \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вычтем из первого равенства второе, тогда:

\[{\rho _в}gS \cdot \Delta h = {\rho _1}gSH\]

\[{\rho _в} \cdot \Delta h = {\rho _1}H\]

\[{\rho _1} = {\rho _в}\frac{{\Delta h}}{H}\]

Посчитаем ответ:

\[{\rho _1} = 1000 \cdot \frac{{16}}{{20}} = 800\;кг/м^3\]