Решение: Шарик от настольного тенниса диаметром 4 см и массой 8 г удерживается под водой

Условие задачи:

Шарик от настольного тенниса диаметром 4 см и массой 8 г удерживается под водой на глубине 40 см. Если его отпустить, то он поднимется над поверхностью воды на высоту 1 м. Определить работу шарика против силы сопротивления воды.

Задача №3.3.45 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=4\) см, \(m=8\) г, \(h=40\) см, \(H=1\) м, \(A-?\)

Решение задачи:

Работа шарика против силы сопротивления воды равна работе этой силы, взятой с противоположным знаком.

\[A = – {A_{сопр}}\;\;\;\;(1)\]

Для решения этой задачи следует воспользоваться законом сохранения энергии. Замечу, что на шарик действуют две неконсервативные силы: сила Архимеда \(F_{А}\) и сила сопротивления воды \(F_{сопр}\). Эти силы будут совершать работу. Сумма этих работ равна изменению полной механической энергии, то есть:

\[{A_{Арх}} + {A_{сопр}} = \Delta E\]

\[{A_{сопр}} = \Delta E – {A_{Арх}}\]

Если учесть (1), то получим:

\[A = {A_{Арх}} – \Delta E\;\;\;\;(2)\]

Поскольку в точках 1 и 2 у шарика нет скорости, то изменение полной механической энергии равно изменению потенциальной энергии. Если выбрать уровень отсчета потенциальной энергии в точке 1, то:

\[\Delta E = mg\left( {H + h} \right)\;\;\;\;(3)\]

Если пренебрежем участком выхода шарика из воды, когда сила Архимеда \(F_{А}\) переменна, то работу этой силы можно находить из выражения:

\[{A_{Арх}} = {F_А} \cdot h\]

Распишем силу Архимеда \(F_{А}\) по известной формуле:

\[{A_{Арх}} = {\rho _в}gV \cdot h\]

Поскольку \(r = \frac{d}{2}\), то объем шарика можно находить так:

\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

\[V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{d}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {d^3}}}{6}\]

Тогда:

\[{A_{Арх}} = {\rho _в}g\frac{{\pi {d^3}}}{6} \cdot h\;\;\;\;(4)\]

Подставим выражения (3) и (4) в формулу (1). В итоге имеем:

\[A = {\rho _в}g\frac{{\pi {d^3}}}{6} \cdot h – mg\left( {H + h} \right)\]