Расположенная горизонтально, запаянная с обоих концов стеклянная трубка

Условие задачи:

Расположенная горизонтально, запаянная с обоих концов стеклянная трубка разделена столбиком ртути на две равные части. Длина каждого столбика воздуха 20 см. Давление нормальное. Если трубку повернуть вертикально, ртутный столбик опустится на 2 см. Определить длину столбика ртути.

Задача №4.3.33 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l = 20\) см, \(\Delta l = 2\) см, \(h-?\)

Решение задачи:

С газом, расположенным по обе части от столбика ртути, будет происходить изотермический процесс (\(T=const\)). Запишем для обоих столбиков газа закон Бойля-Мариотта, учитывая, что объем газа можно считать как произведение площади сечения на длину столбика (концевыми сферическими участками пренебрегаем).

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_0}Sl = {p_1}S\left( {l + \Delta l} \right)\,\,\,\,(1) \hfill \\
{p_0}Sl = {p_2}S\left( {l – \Delta l} \right)\,\,\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Выразим из формулы (1) и (2) давления \(p_1\) и \(p_2\):

\[{p_1} = \frac{{{p_0}l}}{{l + \Delta l}}\]

\[{p_2} = \frac{{{p_0}l}}{{l – \Delta l}}\]

Когда трубку расположат вертикально, давление, оказываемое верхним столбиком газа, будет передаваться ртутью на нижний столбик газа, поэтому справедливо:

\[{p_1} + \rho gh = {p_2}\]

Подставим в эту формулу полученные выражения для \(p_1\) и \(p_2\) и выразим искомую высоту \(h\):

\[\frac{{{p_0}l}}{{l + \Delta l}} + \rho gh = \frac{{{p_0}l}}{{l – \Delta l}}\]

\[h = \frac{{{p_0}}}{{\rho g}}\left( {\frac{{l(l + \Delta l) – l(l – \Delta l)}}{{{l^2} – \Delta {l^2}}}} \right) = \frac{{{p_0}}}{{\rho g}}\left( {\frac{{{l^2} + l \cdot \Delta l – {l^2} + l \cdot \Delta l)}}{{{l^2} – \Delta {l^2}}}} \right)\]

\[h = \frac{{2{p_0} \cdot l \cdot \Delta l}}{{\rho g\left( {{l^2} – \Delta {l^2}} \right)}}\]

Для получения численного ответа подставим исходные данные в системе СИ:

\[h = \frac{{2 \cdot {{10}^5} \cdot 0,2 \cdot 0,02}}{{13600 \cdot 10 \cdot \left( {{{0,2}^2} – {{0,02}^2}} \right)}} = 0,1485 \; м \approx 0,15 \; м \]

Ответ: 0,15 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.3.32 Один конец цилиндрической трубки, длина которой 25 см и радиус 1 см
4.3.34 В вертикальном закрытом цилиндре находится подвижный поршень
4.3.35 Открытую стеклянную трубку длиной 1 м наполовину погружают в ртуть