Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям

Условие задачи:

Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и далее движется по окружности. Как изменится частота вращения частицы, если величину индукции магнитного поля увеличить в два раза?

Задача №8.2.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=90^\circ\), \(B_2=2B_1\), \(\frac{\nu_2}{\nu_1}-?\)

Решение задачи:

Под действием силы Лоренца заряженная частица в магнитном поле будет совершать равномерное движение по окружности. Очевидно, что если частица движется по окружности радиуса \(R\) со скоростью \(\upsilon\), то период обращения \(T\), то есть время, за которое частица сделает один оборот (или пройдет одну длину окружности, равную \(2\pi R\)), можно найти так:

\[T = \frac{{2\pi R}}{\upsilon }\]

Частоту вращения частицы \(\nu\) можно найти как величину, обратную периоду обращения \(T\):

\[\nu = \frac{1}{T}\]

\[\nu = \frac{\upsilon }{{2\pi R}}\;\;\;\;(1)\]

Силу Лоренца \(F_Л\) определяют по следующей формуле:

\[{F_Л} = B\upsilon q\sin \alpha \;\;\;\;(2)\]

Здесь \(B\) – индукция магнитного поля, \(\upsilon\) – скорость заряженной частицы, \(q\) – модуль заряда частицы, \(\alpha\) – угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции.

Направление действия силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца направить по направлению движения положительного заряда (или против направления отрицательного заряда), то большой палец, оставленный на 90°, покажет направление силы Лоренца. В нашем случае (при таком направлении вектора магнитной индукции) сила Лоренца направлена влево.

Сила Лоренца \(F_Л\) сообщает заряженной частице центростремительное ускорение \(a_ц\), поэтому из второго закона Ньютона следует, что:

\[{F_Л} = m{a_ц}\;\;\;\;(3)\]

Центростремительное ускорение \(a_ц\) можно определить через скорость \(\upsilon\) и радиус кривизны траектории \(R\) по формуле:

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (4) в (3), тогда:

\[{F_Л} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\;\;\;\;(5)\]

Приравняем правые части (2) и (5):

\[B\upsilon q\sin \alpha = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{R}\]

Имеем:

\[Bq\sin \alpha = \frac{{m\upsilon }}{R}\]

Откуда отношение \(\frac{\upsilon}{R}\), которое нам будет нужно в ходе дальнейшего решения, равно:

\[\frac{\upsilon }{R} = \frac{{Bq\sin \alpha }}{m}\]

Полученное выражение подставим в (1):

\[\nu = \frac{{Bq\sin \alpha }}{{2\pi m}}\]

Запишем полученную формулу дважды для двух случаев, описанных в условии задачи:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\nu _1} = \frac{{{B_1}q\sin \alpha }}{{2\pi m}} \hfill \\
{\nu _2} = \frac{{{B_2}q\sin \alpha }}{{2\pi m}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее равенство на верхнее, тогда искомое отношение \(\frac{\nu_2}{\nu_1}\) равно:

\[\frac{{{\nu _2}}}{{{\nu _1}}} = \frac{{{B_2}}}{{{B_1}}}\]

По условию величину индукции магнитного поля увеличивают в два раза, то есть \(B_2=2B_1\), поэтому:

\[\frac{{{\nu _2}}}{{{\nu _1}}} = \frac{{2{B_1}}}{{{B_1}}} = 2\]

Ответ: увеличится в 2 раза.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.2.23 Электрон движется в магнитном поле с индукцией 2 мТл по винтовой линии радиусом
8.2.25 Протон и альфа-частица (4He2), ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают
8.2.26 Протон и дейтрон (ядро изотопа водорода 2H1), имеющие одинаковые скорости, влетают