Решение: В зазор между пластинами плоского конденсатора влетает электрон, пройдя перед

Условие задачи:

В зазор между пластинами плоского конденсатора влетает электрон, пройдя перед этим ускоряющее поле с разностью потенциалов 25 кВ. Скорость электрона направлена параллельно пластинам конденсатора. Длина пластин 8 см, расстояние между ними 1 см. На сколько сместится электрон при выходе из зазора между пластинами, если разность потенциалов между ними 200 В?

Задача №6.3.55 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Delta \varphi = 25\) кВ, \(l=8\) см, \(d=1\) см, \(U=200\) В, \(\delta-?\)

Решение задачи:

При нахождении электрона между обкладками конденсатора на него вдоль оси \(y\) действует электрическая сила \(F_{эл}\), модуль которой мы найдём по формуле:

\[F_{эл} = Ee\]

В этой формуле \(e\) – модуль заряда электрона (элементарный заряд), равный 1,6·10^-19 Кл.

Напряженность поля конденсатора \(E\) можно выразить через разность потенциалов между пластинами \(U\) (или его ещё называют напряжением) и расстояние между ними \(d\):

\[E = \frac{U}{d}\]

Тогда:

\[{F_{эл}} = \frac{{Ue}}{d}\;\;\;\;(1)\]

Запишем второй закон Ньютона для электрона в проекции на ось \(y\):

\[{F_{эл}} = ma\;\;\;\;(2)\]

Здесь \(m\) – масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг. Приравняем (1) и (2), тогда:

\[\frac{{Ue}}{d} = ma\]

Давайте выразим из полученного равенства ускорение электрона \(a\), оно ещё нам пригодится:

\[a = \frac{{Ue}}{{md}}\;\;\;\;(3)\]

Теперь запишем уравнения движения электрона вдоль осей координат. Вдоль оси \(x\) электрон движется равномерно (так как вдоль этой оси на него не действуют силы), а вдоль оси \(y\) – равноускоренно (из-за электрической силы \(F_{эл}\)) без начальной скорости.

\[\left\{ \begin{gathered}
x = \upsilon t \hfill \\
y = \frac{{a{t^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Пусть \(t\) – время нахождения электрона в конденсаторе. За это время электрон вдоль оси \(x\) пройдёт путь, равный длине обкладок \(l\), а вдоль оси \(y\) – путь, равный смещению пучка \(\delta\), поэтому вышеприведённая система примет вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
l = \upsilon t \hfill \\
\delta = \frac{{a{t^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из верхнего уравнения выразим время движения \(t\) и возведём его в квадрат:

\[t = \frac{l}{\upsilon } \Rightarrow {t^2} = \frac{{{l^2}}}{{{\upsilon ^2}}}\;\;\;\;(4)\]

В нижнее уравнение системы подставим (3) и (4), тогда:

\[\delta = \frac{{eU{l^2}}}{{2md{\upsilon ^2}}}\;\;\;\;(5)\]

В условии задачи сказано, что электрон был ускорен разностью потенциалов \(\Delta \varphi\), поэтому, записав закон сохранения энергии, мы легко можем определить скорость электрона \(\upsilon\) при влёте в конденсатор (вернее нам нужен квадрат скорости \(\upsilon^2\)).

\[e\Delta \varphi = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[{\upsilon ^2} = \frac{{2e\Delta \varphi }}{m}\]

Полученное выражение подставим в формулу (5):

\[\delta = \frac{{eU{l^2}}}{{2md}} \cdot \frac{m}{{2e\Delta \varphi }}\]

\[\delta = \frac{{U{l^2}}}{{4d\Delta \varphi }}\]

Задача решена, теперь нужно поставить численные значения величин и посчитать численный ответ:

\[\delta = \frac{{200 \cdot {{0,08}^2}}}{{4 \cdot 25 \cdot {{10}^3} \cdot 0,01}} = 0,00128\;м = 0,128\;см\]