Решение: В центре закрепленной полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной

Условие задачи:

В центре закрепленной полусферы радиуса \(R\), заряженной равномерно с поверхностной плотностью зарядов \(+ \sigma\), в вакууме расположен маленький шарик, заряженный зарядом \(+q\). Если шарик освободить, то в процессе движения он приобретет максимальную кинетическую энергию. Найти кинетическую энергию.

Задача №6.3.62 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R\), \(+ \sigma\), \(+q\), \(W_к-?\)

Решение задачи:

Понятно, что для решения этой задачи следует воспользоваться законом сохранения энергии, согласно которому потенциальная энергия взаимодействия \(W_п\) заряда шарика \(q\) с зарядами на полусфере перейдёт (на бесконечности) в кинетическую энергию шарика \(W_к\).

\[{W_к} = {W_п}\;\;\;\;(1)\]

Получается нам, чтобы найти ответ на вопрос задачи, необходимо всего лишь найти потенциальную энергию взаимодействия \(W_п\) заряда шарика \(q\) с зарядами на полусфере. Для этого выполним следующий “трюк” – выделим на полусфере очень маленький участок (практически точечный, смотрите на рисунке поперечное сечение полусферы), который несёт некоторый малый заряд \(q_0\). Потенциальную энергию взаимодействия \(W_0\) заряда \(q_0\) с зарядом \(q\), находящимся на расстоянии \(R\) от него, можно определить по такой формуле:

\[{W_0} = \frac{{kq{q_0}}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Понятно, что полную энергию \(W_п\) можно найти как сумму всех энергий \(W_0\):

\[{W_п} = \sum {{W_0}} \]

Учитывая (2), получим:

\[{W_п} = \sum {\frac{{kq{q_0}}}{R}} \]

\[{W_п} = \frac{{kq}}{R}\sum {{q_0}} \;\;\;\;(3)\]

Понятно, что выражение \(\sum {{q_0}}\) определяет суммарный заряд на полусфере, который, очевидно, можно найти как произведение поверхностной плотности заряда \(\sigma\) на площадь полусферы \(S\).

\[\sum {{q_0}} = \sigma S\]

Тогда (3) примет такой вид:

\[{W_п} = \frac{{kq\sigma S}}{R}\;\;\;\;(4)\]

Площадь полусферы \(S\) можно найти через её радиус \(R\) по такой формуле (половина площади сферы):

\[S = 2\pi {R^2}\;\;\;\;(5)\]

Также выразим коэффициент пропорциональности \(k\) через электрическую постоянную \(\varepsilon _0\):

\[k = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\;\;\;\;(6)\]

Подставим (5) и (6) в (4):

\[{W_п} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{q\sigma }}{R} \cdot 2\pi {R^2}\]

\[{W_п} = \frac{{\sigma qR}}{{2{\varepsilon _0}}}\]

Принимая во внимание формулу (1), окончательно имеем:

\[{W_к} = \frac{{\sigma qR}}{{2{\varepsilon _0}}}\]