Тысяча одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены до одинакового потенциала

Условие задачи:

Тысяча одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены до одинакового потенциала 0,1 В. Определите потенциал большой шарообразной капли, получившейся в результате слияния малых капель.

Задача №6.4.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=1000\), \(\varphi_0=0,1\) В, \(\varphi-?\)

Решение задачи:

Вы должны понимать, что объем большой шарообразной капли \(V\) равен сумме объемов \(V_0\) всех маленьких капелек ртути, которых согласно условию всего \(N\) штук. Поэтому имеет место равенство:

\[V = N{V_0}\;\;\;(1)\]

Пусть радиус большой капли равен \(R\), радиус маленьких капелек – \(r\), тогда, вспомнив формулу из математики для определения объема шара, можно записать формулу (1) в следующем виде:

\[\frac{4}{3}\pi {R^3} = N \cdot \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

\[{R^3} = N{r^3}\]

Откуда:

\[\frac{R}{r} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(2)\]

Запишем формулы для определения электроемкостей большой \(C\) и маленьких \(C_0\) капель:

\[\left\{ \begin{gathered}
C = 4\pi {\varepsilon _0}R \hfill \\
{C_0} = 4\pi {\varepsilon _0}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее равенство на нижнее:

\[\frac{C}{{{C_0}}} = \frac{R}{r}\]

Если учесть ранее полученное (2), имеем:

\[\frac{C}{{{C_0}}} = {N^{\frac{1}{3}}}\;\;\;(3)\]

Из закона сохранения заряда следует, что между зарядом большой капли \(q\) и зарядами \(q_0\) капель в количестве \(N\) штук существует соотношение:

\[q = N{q_0}\]

\[\frac{q}{{{q_0}}} = N\;\;\;(4)\]

Запишем формулы для определения потенциалов большой \(\varphi\) и маленьких \(\varphi_0\) капель через заряды и электроемкости:

\[\left\{ \begin{gathered}
\varphi = \frac{q}{C} \hfill \\
{\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{{C_0}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим верхнее равенство на нижнее, тогда:

\[\frac{\varphi }{{{\varphi _0}}} = \frac{{q \cdot {C_0}}}{{{q_0} \cdot C}}\]

Учитывая (3) и (4), получим:

\[\frac{\varphi }{{{\varphi _0}}} = \frac{N}{{{N^{\frac{1}{3}}}}}\]

\[\varphi = {\varphi _0}{N^{\frac{2}{3}}}\]

Задача решена в общем виде, считаем ответ:

\[\varphi = 0,1 \cdot {1000^{\frac{2}{3}}} = 10\;В\]

Ответ: 10 В.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.5 Проводники, заряженные одинаковым зарядом, имеют потенциалы 40 и 60 В
6.4.7 Шар радиусом 15 см, заряженный до потенциала 300 В, соединяют проволокой
6.4.8 Шарообразная капля, имеющая потенциал 2,5 В, получена в результате слияния двух