Решение: Плоский конденсатор имеет в качестве изолирующего слоя пластинку из слюды толщиной

Условие задачи:

Плоский конденсатор имеет в качестве изолирующего слоя пластинку из слюды толщиной 2 мм и площадью 300 см². Конденсатор заряжают до напряжения 100 В, затем отключают от источника напряжения. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы вынуть пластинку из конденсатора.

Задача №6.4.59 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=2\) мм, \(S=300\) см², \(U=100\) В, \(A-?\)

Решение задачи:

Работу \(A\) будем искать как изменение энергии конденсатора, то есть:

\[A = {W_2} – {W_1}\;\;\;\;(1)\]

Так как конденсатор был заряжен, а затем отключен от источника напряжения, то есть на нем будет оставаться постоянным заряд \(q\), то начальную и конечную энергии \(W_1\) и \(W_2\) целесообразно определять по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{q^2}}}{{2{C_0}}} \hfill \\
{W_2} = \frac{{{q^2}}}{{2C}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Начальная и конечная электроемкость \(C_0\) и \(C\) связаны между собой соотношением:

\[C = \frac{{{C_0}}}{\varepsilon }\;\;\;\;(2)\]

При этом начальную электроемкость \(C_0\) можно найти по известной формуле (она нам понадобится далее):

\[{C_0} = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\;\;\;\;(3)\]

Учитывая (2), система примет такой вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{q^2}}}{{2{C_0}}} \hfill \\
{W_2} = \frac{{\varepsilon {q^2}}}{{2{C_0}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим выражения из системы в формулу (1):

\[A = \frac{{\varepsilon {q^2}}}{{2{C_0}}} – \frac{{{q^2}}}{{2{C_0}}}\]

\[A = \frac{{{q^2}\left( {\varepsilon – 1} \right)}}{{2{C_0}}}\]

Выполним такой трюк, домножим и числитель, и знаменатель на \(C_0\):

\[A = \frac{{{C_0}{q^2}\left( {\varepsilon – 1} \right)}}{{2C_0^2}}\]

Так как начальное напряжение \(U\), заряд \(q\) и начальная электроемкость \(C_0\) связаны формулой \(U = \frac{q}{{{C_0}}}\), то:

\[A = \frac{{{C_0}{U^2}\left( {\varepsilon – 1} \right)}}{2}\]

Также в эту формулу подставим (3) и получим окончательную формулу:

\[A = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S{U^2}\left( {\varepsilon – 1} \right)}}{{2d}}\]

Остается только посчитать численный ответ, что мы и сделаем (диэлектрическая проницаемость слюды \(\varepsilon\) равна 7):

\[A = \frac{{7 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ – 12}} \cdot 300 \cdot {{10}^{ – 4}} \cdot {{100}^2} \cdot \left( {7 – 1} \right)}}{{2 \cdot 2 \cdot {{10}^{ – 3}}}} = 2,79 \cdot {10^{ – 5}}\;Дж = 27,9\;мкДж\]