Условие задачи:
На двух одинаковых капельках воды находится по одному лишнему электрону, причем сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу их взаимного тяготения. Каковы радиусы капелек?
Задача №6.1.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(F_{эл}=F_{тяг}\), \(r-?\)
Решение задачи:
Пусть \(R\) – расстояние между капельками воды.
Так как на каждой капельке воды находится по одному лишнему электрону, то по закону Кулона они будут отталкиваться с силой \(F_{эл}\), равной:
\[{F_{эл}} = \frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(1)\]
В этой формуле \(k\) – коэффициент пропорциональности, равный 9·109 Н·м2/Кл2, \(e\) – элементарный заряд, равный 1,6·10-19 Кл.
По закону всемирного тяготения капельки воды будут притягиваться с силой \(F_{тяг}\), определяемой по формуле:
\[{F_{тяг}} = \frac{{G{m^2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(2)\]
Здесь \(G\) – гравитационная постоянная, она равна 6,67·10-11 Н·м2/кг2.
Массу капельки воды \(m\) запишем как произведение плотности воды \(\rho\) (она равна 1000 кг/м3) на объем одной капельки \(V\):
\[m = \rho V\;\;\;\;(3)\]
Капля имеет шарообразную форму, поэтому её объем \(V\) можно найти по формуле:
\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\;\;\;\;(4)\]
Подставим (4) в (3), а полученное в (2), тогда:
\[{F_{тяг}} = \frac{{16G{\rho ^2}{\pi ^2}{r^6}}}{{9{R^2}}}\;\;\;\;(5)\]
По условию задачи сила электрического отталкивания уравновешивает силу их взаимного тяготения, то есть \(F_{эл}=F_{тяг}\), поэтому приравняем (1) и (5):
\[\frac{{k{e^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{16G{\rho ^2}{\pi ^2}{r^6}}}{{9{R^2}}}\;\;\;\;(6)\]
\[k{e^2} = \frac{{16}}{9}G{\rho ^2}{\pi ^2}{r^6}\]
Откуда искомый радиус капелек \(r\) равен:
\[r = \sqrt[6]{{\frac{{9k{e^2}}}{{16G{\rho ^2}{\pi ^2}}}}}\]
Произведём расчёт численного ответа:
\[r = \sqrt[6]{{\frac{{9 \cdot 9 \cdot {{10}^9} \cdot {{1,6}^2} \cdot {{10}^{ – 38}}}}{{16 \cdot 6,67 \cdot {{10}^{ – 11}} \cdot {{1000}^2} \cdot {{3,14}^2}}}}} = 0,0000763\;м = 76,3\;мкм\]
Ответ: 76,3 мкм.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
6.1.4 С какой силой ядро атома железа (Fe) притягивает электрон, находящийся
6.1.6 Два заряженных шара одинакового радиуса, массой 0,3 кг каждый, расположены
6.1.7 По теории Бора электрон в атоме водорода вращается вокруг ядра
правильно
Ну и решение, никогда бы не догадался
Мне кажется, что здесь все чересчур просто
А как вы извлекали корень 6-ой степени? можно поподробней пожалуйста.
Извлечь корень шестой степени – это то же самое, что и возвести в степень \(\frac{1}{6}\).
Это можно сделать на любом инженерном калькуляторе
Спс
почему мы не учли диэлектрическую проницаемость воды?
Потому что капельки находятся в воздухе, да и сами капли по величине очень маленькие.
а что если у капелек два лишних электрона?
В формуле (1) в числителе добавится 4 (2 в квадрате).
получается F=ke^4? (1)
а в (6) начнется так ke^4/R2=16Gp^2Пи^2r^6/9R^3
и дальше меняем в формуле где ищем r e^2 на e^4?
то в самом решение изменится из 1,6^2 в 1,6^4
Нет, F=4ke^2/R^2
Далее:
4ke^2/R^2=(16/9)*Gρ^2π^2r^6/R^2
4ke^2=(16/9)*Gρ^2π^2r^6
r=(9ke^2/(4Gρ^2π^2))^(1/4)
Короче говоря, точно такая же формула, как и у меня, но в знаменателе 4 вместо 16.
Мне тут надо найти массу вместо радиус это как решить?
У вас будет очень просто – всего лишь приравняйте выражения (1) и (2), далее все очевидно
Как это сделать можно формулу
k*e^2/R^2=G*m^2/R^2
k*e^2=G*m^2
m=e*√(k/G)
Спасибо))
Можно ли решить задачу, учитывая что для силы тяготения берется расстояние между центрами капель, для силы кулона, расстояние между центрами капель+2*радиуса капель.
При данном условии – нет, поскольку уравнение (6) будет иметь другой вид:
k*e^2/(R+2r)^2=16/9*G*ρ^2*π^2*r^6/R^2
Вы имеете только одно уравнение, а неизвестных в нём будет две – это радиус капель r и расстояние между каплями R.
Что такое мкм
Микрометр – одна миллионная метра (1 мкм =10^(-6) м)