Решение: Электрон, ускоренный разностью потенциалов 5 кВ, влетает в середину зазора между

Условие задачи:

Электрон, ускоренный разностью потенциалов 5 кВ, влетает в середину зазора между обкладками плоского конденсатора параллельно им. Какое наименьшее напряжение нужно подать на конденсатор, чтобы электрон не вылетел из него? Длина конденсатора 5 см, расстояние между пластинами 1 см.

Задача №6.3.51 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Delta \varphi=5\) кВ, \(l=5\) см, \(d=1\) см, \(U-?\)

Решение задачи:

На электрон действует только одна сила – электрическая сила \(F_{эл}\) в направлении оси \(y\), абсолютную величину которой определяют по формуле:

\[F_{эл} = Ee\]

Здесь \(e\) – модуль заряда электрона, равный 1,6·10^-19 Кл.

Напряженность поля конденсатора \(E\) можно выразить через напряжение между пластинами \(U\) и расстояние между ними \(d\):

\[E = \frac{U}{d}\]

Тогда:

\[{F_{эл}} = \frac{{Ue}}{d}\;\;\;\;(1)\]

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось \(y\):

\[{F_{эл}} = ma\;\;\;\;(2)\]

В этой формуле \(m\) – масса электрона, равная 9,1·10^-31 кг. Приравняем (1) и (2), тогда:

\[\frac{{Ue}}{d} = ma\]

\[U = \frac{{mad}}{e}\;\;\;\;(3)\]

Отлично, значит нам нужно найти ускорение \(a\), действующее на электрон. Для этого запишем уравнения движения электрона вдоль осей координат. Вдоль оси \(x\) электрон движется равномерно (так как вдоль этой оси на него не действует сил), а вдоль оси \(y\) – равноускоренно.

\[\left\{ \begin{gathered}
x = \upsilon t \hfill \\
y = \frac{{a{t^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поскольку в условии задачи спрашивается о наименьшем напряжении, то необходимо рассмотреть случай, когда электрон попадёт в правый край нижней обкладки конденсатора (смотрите схему). В этом случае вдоль оси \(x\) электрон пройдёт путь \(l\), а вдоль оси \(y\) – \(\frac{d}{2}\), поэтому вышеприведённая система примет вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
l = \upsilon t \hfill \\
\frac{d}{2} = \frac{{a{t^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из нижнего уравнения системы имеем:

\[a = \frac{d}{{{t^2}}}\;\;\;\;(4)\]

Из верхнего уравнения выразим время движения \(t\) и возведём его в квадрат:

\[t = \frac{l}{\upsilon } \Rightarrow {t^2} = \frac{{{l^2}}}{{{\upsilon ^2}}}\]

Тогда формула (4) станет такой:

\[a = \frac{{{\upsilon ^2}d}}{{{l^2}}}\;\;\;\;(5)\]

В условии задачи сказано, что электрон был ускорен разностью потенциалов \(\Delta \varphi\), поэтому, записав закон сохранения энергии, мы легко можем определить скорость электрона \(\upsilon\) при влёте в конденсатор (вернее нам нужен квадрат скорости \(\upsilon^2\)).

\[e\Delta \varphi = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

\[{\upsilon ^2} = \frac{{2e\Delta \varphi }}{m}\]

Полученное выражение подставим в формулу (5):

\[a = \frac{{2e\Delta \varphi d}}{{m{l^2}}}\]

И, наконец, это выражение нам нужно подставить в формулу (3):

\[U = \frac{{md}}{e} \cdot \frac{{2e\Delta \varphi d}}{{m{l^2}}}\]

\[U = \frac{{2\Delta \varphi {d^2}}}{{{l^2}}}\]

Задача решена в общем виде, теперь нам осталось только посчитать численный ответ:

\[U = \frac{{2 \cdot 5000 \cdot {{0,01}^2}}}{{{{0,05}^2}}} = 400\;В = 0,4\;кВ\]