Решение: Два маленьких одинаковых шарика находятся на расстоянии 0,2 м и притягиваются

Условие задачи:

Два маленьких одинаковых шарика находятся на расстоянии 0,2 м и притягиваются с силой 4 мН. Шарики на малый промежуток времени соединили проволокой. После этого они стали отталкиваться с силой 2,25 мН, находясь на том же расстоянии. Определить отношение заряда первого шарика к заряду второго шарика.

Задача №6.1.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=0,2\) м, \(F_0=4\) мН, \(F=2,25\) мН, \(\frac{q_1}{q_2}-?\)

Решение задачи:

Так как сначала шарики притягивались, значит они изначально имели разноимённые заряды (например, первый имел отрицательный, а второй – положительный, хотя это и не важно). После соединения их проволокой они стали отталкиваться, значит в результате перераспределения зарядов на шариках оказались заряды одного знака (например, отрицательного, если заряд второго шарика был меньше модуля заряда первого).

Поскольку в законе Кулона фигурируют модули зарядов, то будем работать с ними. Пусть \(q_1\) – модуль заряда первого шарика, а \(q_2\) – модуль заряда второго шарика. В задаче нам нужно найти отношение модулей зарядов \(\frac{q_1}{q_2}\), потому что, итак, понятно, что отношение заряда первого шарика к заряду второго шарика будет отрицательным.

Согласно закону Кулона силу притяжения шариков \(F_0\) вследствие взаимодействия зарядов можно найти следующим образом:

\[{F_0} = \frac{{k{q_1}{q_2}}}{{{R^2}}}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(k\) – коэффициент пропорциональности, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл².

После соединения шариков проволокой на каждом их них окажется одинаковый заряд \(q\), определяемый по формуле:

\[q = \frac{{ – {q_1} + {q_2}}}{2}\]

Внимание! Знак “минус” перед \(q_1\) появился из-за того, что \(q_1\) – это модуль заряда первого шарика, а мы условились, что этот заряд отрицательный!

Тогда силу отталкивания шариков \(F\) определим по формуле:

\[F = \frac{{k{q^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{k{{\left( {{q_2} – {q_1}} \right)}^2}}}{{4{R^2}}}\;\;\;\;(2)\]

Поделим (2) на (1), тогда получим:

\[\frac{{{{\left( {{q_2} – {q_1}} \right)}^2}}}{{4{q_1}{q_2}}} = \frac{F}{{{F_0}}}\]

Поделим числитель и знаменатель дроби в левой части на \(q_2^2\):

\[\frac{{{{\left( {1 – \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)}^2}}}{{4\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}}} = \frac{F}{{{F_0}}}\]

\[1 – 2\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} + {\left( {\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)^2} = 4\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}\frac{F}{{{F_0}}}\]

\[{\left( {\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)^2} – \left( {2 + 4\frac{F}{{{F_0}}}} \right)\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} + 1 = 0\]

Решим это квадратное уравнение относительно \(\frac{q_1}{q_2}\), для этого найдём дискриминант:

\[D = {\left( {2 + 4\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} – 4 = 4 + 16\frac{F}{{{F_0}}} + 16{\left( {\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} – 4\]

\[D = 16{\left( {\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^2} + 16\frac{F}{{{F_0}}} = 16\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)\]

Тогда:

\[\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \frac{{2 + 4\frac{F}{{{F_0}}} \pm \sqrt {16\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)} }}{2}\]

\[\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 1 + 2\frac{F}{{{F_0}}} \pm 2\sqrt {\frac{F}{{{F_0}}}\left( {\frac{F}{{{F_0}}} + 1} \right)} \]

Уже можно посчитать ответ:

\[\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 1 + 2\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ – 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ – 3}}}} \pm 2\sqrt {\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ – 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ – 3}}}}\left( {\frac{{2,25 \cdot {{10}^{ – 3}}}}{{4 \cdot {{10}^{ – 3}}}} + 1} \right)} \]

\[\left[ \begin{gathered}
\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 4 \hfill \\
\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 0,25 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как мы условились, что модуль заряда первого шарика был больше заряда второго, то второй корень не может являться решением задачи.