Условие задачи:
В цилиндре находится газ, удерживаемый в объеме 1 м3 силой тяжести поршня и силой атмосферного давления. При нагревании объем газа возрастает в 2 раза, и газ совершает работу 110 кДж. Найти массу поршня, если его площадь 0,005 м2. \(p_{атм}=100\) кПа.
Задача №5.4.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(V_1=1\) м3, \(V_2=2V_1\), \(A=110\) кДж, \(S=0,005\) м2, \(p_{атм}=100\) кПа, \(m-?\)
Решение задачи:
На поршень действуют три силы: сила давления газа \(pS\), сила атмосферного давления \(p_{атм}S\) и сила тяжести \(mg\) (смотрите схему). Если газ нагревают медленно, то поршень в каждый момент времени будет находиться в равновесии. Запишем первый закон Ньютона в проекции на ось \(y\):
\[{p_{атм}}S + mg = pS\]
Откуда выразим давление газа в цилиндре \(p\):
\[p = {p_{атм}} + \frac{{mg}}{S}\;\;\;\;(1)\]
Видно, что давление газа меняться в течение процесса нагревания не будет, значит мы имеем дело с изобарным процессом (\(p=const\)). Если газ нагревать изобарно, то он будет расширяться. Работу газа при изобарном расширении определяют по известной формуле:
\[A = p\left( {{V_2} — {V_1}} \right)\]
Известно, что объем газа увеличивается в 2 раза, то есть \(V_2=2V_1\). Учитывая ранее полученную формулу (1), имеем:
\[A = \left( {{p_{атм}} + \frac{{mg}}{S}} \right)\left( {2{V_1} — {V_1}} \right)\]
\[A = \left( {{p_{атм}} + \frac{{mg}}{S}} \right){V_1}\]
В этом равенстве известно всё, кроме искомой массы поршня \(m\), поэтому осталось только выразить её, чем мы сейчас и займёмся.
\[{p_{атм}} + \frac{{mg}}{S} = \frac{A}{{{V_1}}}\]
\[\frac{{mg}}{S} = \frac{A}{{{V_1}}} — {p_{атм}}\]
\[m = \frac{S}{g}\left( {\frac{A}{{{V_1}}} — {p_{атм}}} \right)\]
Произведём расчёт численного ответа задачи:
\[m = \frac{{0,005}}{{10}} \cdot \left( {\frac{{110 \cdot {{10}^3}}}{1} — 100 \cdot {{10}^3}} \right) = 5\;кг\]
Ответ: 5 кг.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
5.4.31 Газ изобарно увеличился в объеме в три раза при давлении 3000 кПа. Определить
5.4.33 Газообразный водород массой 1 кг при начальной температуре 300 К охлаждают
5.4.34 Определите работу, совершаемую одним молем газа за цикл, если
3) A = Int(p(V,T) dV) и все зависит от функции p(V,T) [см. поверхность pV/T = m/M *R],
То, что процесс изобарный, это совсем не очевидно. 1) Для изобарного процесса необходимо, что бы поршень двигался равномерно при нагревании, но об этом (о равномерности движения) в задаче ничего не сказано; 2) Постройте поверхность pV/T = m/M*R и увидите, что в точку p(start) = p(end) можно придти разными путями.
Подразумевается, что нагревание газа идет медленно, поэтому процесс будет изобарным.
Но даже если нагревать газ очень быстро, то ускоренное движение поршня не может сохраняться достаточно долго, поскольку мы имеем дело с саморегулирующейся системой.