Решение: Коэффициент полезного действия тепловой машины равен 25%. В результате её

Условие задачи:

Коэффициент полезного действия тепловой машины равен 25%. В результате её усовершенствования тепло, получаемое от нагревателя, увеличилось на 10%, а тепло, отдаваемое холодильнику, осталось без изменения. Каким стал КПД?

Задача №5.5.43 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\eta_1=25\%\), \(Q_{н2}=1,1Q_{н1}\), \(\eta_2-?\)

Решение задачи:

КПД \(\eta\) любой тепловой машины можно найти по формуле:

\[\eta = \frac{{{Q_н} — {Q_х}}}{{{Q_н}}}\]

Поделим почленно числитель на знаменатель в правой части формулы, тогда:

\[\eta = 1 — \frac{{{Q_х}}}{{{Q_н}}}\]

Запишем формулы для определения КПД до и после усовершенствования двигателя:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\eta _1} = 1 — \frac{{{Q_х}}}{{{Q_{н1}}}} \hfill \\
{\eta _2} = 1 — \frac{{{Q_х}}}{{{Q_{н2}}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как по условию задачи после усовершенствования двигателя тепло, получаемое от нагревателя, увеличилось на 10% (\(Q_{н2}=1,1Q_{н1}\)), то:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\eta _1} = 1 — \frac{{{Q_х}}}{{{Q_{н1}}}} \;\;\;\;(1)\hfill \\
{\eta _2} = 1 — \frac{{{Q_х}}}{{1,1{Q_{н1}}}} \;\;\;\;(2)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из формулы (1) выразим количество теплоты \(Q_{н1}\):

\[\frac{{{Q_х}}}{{{Q_{н1}}}} = 1 — {\eta _1}\]

\[{Q_{н1}} = \frac{{{Q_х}}}{{1 — {\eta _1}}}\]

Полученное выражение подставим в формулу (2):

\[{\eta _2} = 1 — \frac{{{Q_х}\left( {1 — {\eta _1}} \right)}}{{1,1{Q_х}}}\]

\[{\eta _2} = 1 — \frac{{10}}{{11}}\left( {1 — {\eta _1}} \right)\]

Раскроем скобки в правой части:

\[{\eta _2} = 1 — \frac{{10}}{{11}} + \frac{{10}}{{11}}{\eta _1}\]

\[{\eta _2} = \frac{1}{{11}} + \frac{{10}}{{11}}{\eta _1}\]

\[{\eta _2} = \frac{{1 + 10{\eta _1}}}{{11}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[{\eta _2} = \frac{{1 + 10 \cdot 0,25}}{{11}} = 0,32\]