Условие задачи:
При подключении к источнику тока ЭДС 15 В сопротивления 15 Ом КПД источника равен 75%. Какую максимальную мощность внешней цепи может выделить этот источник?
Задача №7.4.45 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
\(\rm E=15\) В, \(R=15\) Ом, \(\eta=75\%\), \(P_{max}-?\)
Решение задачи:
Коэффициент полезного действия (КПД) \(\eta\) источника тока определяют по такой формуле:
\[\eta = \frac{R}{{R + r}}\]
Здесь \(R\) — сопротивление внешней цепи, а \(r\) — внутреннее сопротивление источника тока.
Тогда справедливо:
\[\eta R + \eta r = R\]
\[\eta r = R — \eta R\]
\[\eta r = R\left( {1 — \eta } \right)\]
\[r = \frac{{R\left( {1 — \eta } \right)}}{\eta }\;\;\;\;(1)\]
Мы выразили внутреннее сопротивление источника \(r\) через известные величины. Теперь попробуем разобраться с главным вопросом задачи. Мощность во внешней цепи \(P\) можно найти по формуле:
\[P = UI\;\;\;\;(2)\]
Здесь \(U\) — напряжение на внешней цепи, которое можно найти согласно закону Ома по формуле:
\[U = {\rm E} — Ir\;\;\;\;(3)\]
Подставим выражение (3) в формулу (2):
\[P = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]
Рассмотрим функцию \(P\left( I \right)\), то есть зависимость мощности от силы тока:
\[P\left( I \right) = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]
Раскроем скобки, тогда:
\[P\left( I \right) = {\rm E}I — {I^2}r\;\;\;\;(4)\]
Понятно, что графиком этой функции является парабола, обращенная ветвями вниз, при этом функция достигает максимума при силе тока \(I_{max}\), равной:
\[{I_{max }} = \frac{{\rm E}}{{2r}}\;\;\;\;(5)\]
Если подставить \(I_{max}\) в (4), то получим искомое значение максимальной мощности во внешней цепи \(P_{max}\):
\[{P_{max}} = {\text{E}}{I_{max}} — I_{max}^2r\]
Учитывая (5), имеем:
\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{2r}} — \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{4r}}\]
\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}}}{{4r}}\]
В полученную формулу подставим выражение (1):
\[{P_{max}} = \frac{{{{\text{E}}^2}\eta }}{{4R\left( {1 — \eta } \right)}}\]
Задача решена в общем виде, давайте теперь посчитаем численный ответ:
\[{P_{max}} = \frac{{{{15}^2} \cdot 0,75}}{{4 \cdot 15 \cdot \left( {1 — 0,75} \right)}} = 11,25\;Вт\]
Ответ: 11,25 Вт.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
7.4.44 На резисторе внешней цепи аккумулятора выделяется тепловая мощность 10 Вт
7.4.46 По линии электропередачи протяженностью в 100 км должен пройти электрический ток
7.4.47 Линия имеет сопротивление 300 Ом. Какое напряжение должен иметь генератор