Решение: Определить ток короткого замыкания источника питания, если при тока 15 А он отдает

Условие задачи:

Определить ток короткого замыкания источника питания, если при токе 15 А он отдает во внешнюю цепь мощность 135 Вт, а при токе 6 А — мощность 64,8 Вт.

Задача №7.4.36 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$I_1=15$ А, $P_1=135$ Вт, $I_2=6$ А, $P_2=64,8$ Вт, $I_{кз}-?$

Решение задачи:

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ определяют по формуле:

${I_{кз}} = \frac{{\rm E}}{r}\;\;\;\;(1)$

В этой формуле $\rm E$ — ЭДС источника питания, а $r$ — его внутреннее сопротивление.

Запишем формулы для определения мощностей $P_1$ и $P_2$ :

$\left\{ \begin{gathered} {P_1} = {U_1}{I_1} \hfill \\ {P_2} = {U_2}{I_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Напряжения на внешней цепи $U_1$ и $U_2$ можно найти по закону Ома для полной цепи:

$\left\{ \begin{gathered} {U_1} = {\rm E} — {I_1}r \hfill \\ {U_2} = {\rm E} — {I_2}r \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Тогда:

$\left\{ \begin{gathered} {P_1} = \left( {{\rm E} — {I_1}r} \right){I_1} \hfill \\ {P_2} = \left( {{\rm E} — {I_2}r} \right){I_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Или, если раскрыть скобки в правой части:

$\left\{ \begin{gathered} {P_1} = {\rm E}{I_1} — I_1^2r \hfill \\ {P_2} = {\rm E}{I_2} — I_2^2r \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Вот с этой системой нам и нужно будет поработать. Домножим обе части верхнего равенства на $I_2^2$ , а нижнего — на $I_1^2$ , тогда:

$\left\{ \begin{gathered} {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_1}I_2^2 — I_1^2I_2^2r \hfill \\ {P_2}I_1^2 = {\rm E}{I_2}I_1^2 — I_1^2I_2^2r \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Вычтем из нижнего равенства верхнее:

${P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_2}I_1^2 — {\rm E}{I_1}I_2^2$

${P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2 = {\rm E}{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)$

Откуда ЭДС равна:

${\rm E} = \frac{{{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2}}{{{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}\;\;\;\;(2)$

Возвращаемся опять к нашей системе (над которой мы хотели хорошо поработать). Домножим обе части верхнего равенства на $I_2$ , а нижнего — на $I_1$ , тогда:

$\left\{ \begin{gathered} {P_1}{I_2} = {\rm E}{I_1}{I_2} — I_1^2{I_2}r \hfill \\ {P_2}{I_1} = {\rm E}{I_1}{I_2} — I_2^2{I_1}r \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Опять, вычтем из нижнего равенства верхнее:

${P_2}{I_1} — {P_1}{I_2} = I_1^2{I_2}r — I_2^2{I_1}r$

${P_2}{I_1} — {P_1}{I_2} = {I_1}{I_2}r\left( {{I_1} — {I_2}} \right)$

Откуда внутреннее сопротивление равно:

$r = \frac{{{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}}}{{{I_1}{I_2}\left( {{I_1} — {I_2}} \right)}}\;\;\;\;(3)$

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1), тогда получим:

${I_{кз}} = \frac{{{P_2}I_1^2 — {P_1}I_2^2}}{{{P_2}{I_1} — {P_1}{I_2}}}$

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем ответ:

${I_{кз}} = \frac{{64,8 \cdot {{15}^2} — 135 \cdot {6^2}}}{{64,8 \cdot 15 — 135 \cdot 6}} = 60\;А$