Решение: Источники тока, имеющие одинаковые внутренние сопротивления r=1 Ом, подключены

Условие задачи:

Источники тока, имеющие одинаковые внутренние сопротивления \(r=1\) Ом, подключены к резисторам, каждый из которых имеет сопротивление \(R=4\) Ом, ЭДС источника тока \(\rm E_1=12\) В. Определить \(\rm E_2\), при которой ток, протекающий через источник \(\rm E_2\) равен нулю.

Задача №7.2.44 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(r=1\) Ом, \(R=4\) Ом, \(\rm E_1=12\) В, \(I_2=0\), \(\rm E_2-?\)

Решение задачи:

Приведенную в условии схему представим в измененном виде. Во-первых, покажем явно внутренние сопротивления источников, два параллельно соединенных сопротивления \(R\) представим в виде эквивалентного \(\frac{R}{2}\), также покажем потенциалы наиболее характерных точек.

Тогда можно три раза записать закон Ома для участка цепи и один раз первый закон Кирхгофа (сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из него):

\[\left\{ \begin{gathered}
{{\rm E}_1} — \varphi = {I_1}r \hfill \\
{{\rm E}_2} — \varphi = {I_2}r \hfill \\
\varphi — 0 = I\frac{R}{2} \hfill \\
{I_1} + {I_2} = I \;\;\;\;(1)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как по условию задачи ток \(I_2\), протекающий через источник \(\rm E_2\), равен нулю, то равенство (1) примет вид:

\[{I_1} = I\]

В таком случае система станет такой:

\[\left\{ \begin{gathered}
{{\rm E}_1} — \varphi = Ir \;\;\;\;(2)\hfill \\
{{\rm E}_2} = \varphi \;\;\;\;(3)\hfill \\
\varphi — 0 = I\frac{R}{2} \;\;\;\;(4)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Сложим (2) и (4), тогда:

\[{{\rm E}_1} = I\left( {\frac{R}{2} + r} \right)\]

\[{{\rm E}_1} = \frac{{I\left( {R + 2r} \right)}}{2}\]

\[I = \frac{{2{{\rm E}_1}}}{{R + 2r}}\;\;\;\;(5)\]

Из (3) и (4) следует, что:

\[{{\rm E}_2} = I\frac{R}{2}\]

Учитывая (5), окончательно получим:

\[{{\rm E}_2} = \frac{{2{{\rm E}_1}}}{{R + 2r}} \cdot \frac{R}{2}\]

\[{{\rm E}_2} = \frac{{{{\rm E}_1}R}}{{R + 2r}}\]

Посчитаем численный ответ к задаче:

\[{{\rm E}_2} = \frac{{12 \cdot 4}}{{4 + 2 \cdot 1}} = 8\;В\]