Решение: Амперметр с внутренним сопротивлением 2 Ом, подключенный к батарее, показывает ток 5 А

Условие задачи:

Амперметр с внутренним сопротивлением 2 Ом, подключенный к батарее, показывает ток 5 А. Вольтметр с внутренним сопротивлением 150 Ом, подключенный к той же батарее, показывает 12 В. Найти ток короткого замыкания батареи.

Задача №7.5.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R_А=2\) Ом, \(I_1=5\) А, \(R_v=150\) Ом, \(U_2=12\) В, \(I_{кз}-?\)

Решение задачи:

Ток короткого замыкания батареи \(I_{кз}\) определяют по следующей формуле:

\[{I_{кз}} = \frac{{\rm E}}{r}\;\;\;\;(1)\]

Получается, что нам необходимо найти ЭДС батареи \(\rm E\) и ее внутреннее сопротивление \(r\).

Запишем закон Ома для полной цепи применительно к первому и второму случаю (см. рисунки 1 и 2):

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{{R_А} + r}} \hfill \\
{I_2} = \frac{{\rm E}}{{{R_v} + r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Напряжение на вольтметре во втором случае \(U_2\) легко определить по формуле:

\[{U_2} = {I_2}{R_v}\]

Учитывая вышеприведенное выражение в системе для нахождения силы тока \(I_2\), получим:

\[{U_2} = \frac{{{\rm E}{R_v}}}{{{R_v} + r}}\]

Имеем такую систему с двумя неизвестными:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = \frac{{\rm E}}{{{R_А} + r}} \hfill \\
{U_2} = \frac{{{\rm E}{R_v}}}{{{R_v} + r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из первого уравнения выразим ЭДС:

\[{\rm E} = {I_1}\left( {{R_А} + r} \right)\;\;\;\;(2)\]

Подставим полученное во второе уравнение:

\[{U_2} = \frac{{{I_1}{R_v}\left( {{R_А} + r} \right)}}{{{R_v} + r}}\]

Тогда:

\[{U_2}\left( {{R_v} + r} \right) = {I_1}{R_v}\left( {{R_А} + r} \right)\]

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, сгруппируем члены с внутренним сопротивлением \(r\) в одной части, чтобы далее выразить его:

\[{U_2}{R_v} + {U_2}r = {I_1}{R_v}{R_А} + {I_1}{R_v}r\]

\[{U_2}{R_v} — {I_1}{R_v}{R_А} = {I_1}{R_v}r — {U_2}r\]

\[{R_v}\left( {{U_2} — {I_1}{R_А}} \right) = r\left( {{I_1}{R_v} — {U_2}} \right)\]

\[r = \frac{{{R_v}\left( {{U_2} — {I_1}{R_А}} \right)}}{{{I_1}{R_v} — {U_2}}}\;\;\;\;(3)\]

Отлично, полученное выражение подставим в (2), чтобы найти ЭДС:

\[{\rm E} = {I_1}\left( {{R_А} + \frac{{{R_v}\left( {{U_2} — {I_1}{R_А}} \right)}}{{{I_1}{R_v} — {U_2}}}} \right)\]

Приведем в скобках под общий знаменатель:

\[{\rm E} = {I_1}\frac{{{R_А}\left( {{I_1}{R_v} — {U_2}} \right) + {R_v}\left( {{U_2} — {I_1}{R_А}} \right)}}{{{I_1}{R_v} — {U_2}}}\]

\[{\rm E} = {I_1}\frac{{{I_1}{R_А}{R_v} — {U_2}{R_А} + {U_2}{R_v} — {I_1}{R_А}{R_v}}}{{{I_1}{R_v} — {U_2}}}\]

\[{\rm E} = \frac{{{I_1}{U_2}\left( {{R_v} — {R_А}} \right)}}{{{I_1}{R_v} — {U_2}}}\;\;\;\;(4)\]

Подставим (3) и (4) в формулу (1), получим решение задачи в общем виде:

\[{I_{кз}} = \frac{{{I_1}{U_2}\left( {{R_v} — {R_А}} \right) \cdot \left( {{I_1}{R_v} — {U_2}} \right)}}{{\left( {{I_1}{R_v} — {U_2}} \right) \cdot {R_v}\left( {{U_2} — {I_1}{R_А}} \right)}}\]

\[{I_{кз}} = \frac{{{I_1}{U_2}\left( {{R_v} — {R_А}} \right)}}{{{R_v}\left( {{U_2} — {I_1}{R_А}} \right)}}\]

Численный ответ задачи равен:

\[{I_{кз}} = \frac{{5 \cdot 12 \cdot \left( {150 — 2} \right)}}{{150 \cdot \left( {12 — 5 \cdot 2} \right)}} = 29,6\;А\]