Условие задачи:

Взаимно перпендикулярные лучи идут из воздуха в жидкость. Каков показатель преломления жидкости, если один луч преломляется под углом 36°, а другой — под углом 20°?

Задача №10.3.11 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\gamma=90^\circ$, $\beta_1=36^\circ$, $\beta_2=20^\circ$, $n_2-?$

Решение задачи:

Если угол падения одного из лучей к нормали к поверхности жидкости равен $\alpha_1$, а угол между лучами равен $\gamma$, то очевидно, что угол падения второго луча $\alpha_2$ равен:

$${\alpha _2} = {\gamma} — {\alpha _1}$$

Учитывая, что $\gamma=90^\circ$, имеем (данная подстановка понадобится нам в дальнейшем):

$${\alpha _2} = {90^\circ} — {\alpha _1}\;\;\;\;(1)$$

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для обоих лучей:

$$\left\{ \begin{gathered} {n_1}\sin {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _1} \hfill \\ {n_1}\sin {\alpha _2} = {n_2}\sin {\beta _2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Здесь $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — углы падения первого и второго луча, $\beta_1$ и $\beta_2$ — углы преломления первого и второго луча, $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха $n_1$ равен 1.

Учитывая формулу (1), имеем:

$$\left\{ \begin{gathered} {n_1}\sin {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _1} \hfill \\ {n_1}\sin \left( {{90^\circ} — {\alpha _1}} \right) = {n_2}\sin {\beta _2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Так как $\sin \left( {90^\circ — {\alpha _1}} \right) = \cos {\alpha _1}$, то имеем:

$$\left\{ \begin{gathered} {n_1}\sin {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _1} \hfill \\ {n_1}\cos {\alpha _1} = {n_2}\sin {\beta _2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Сначала выразим из верхней формулы искомый показатель преломления жидкости $n_2$:

$${n_2} = \frac{{{n_1}}}{{\sin {\beta _1}}}\sin {\alpha _1}\;\;\;\;(2)$$

Чтобы найти $\sin {\alpha _1}$, поделим нижнее уравнение системы на верхнее:

$$ctg{\alpha _1} = \frac{{\sin {\beta _2}}}{{\sin {\beta _1}}}\;\;\;\;(3)$$

Из тригонометрии известно следующее равенство:

$$1 + ct{g^2}{\alpha _1} = \frac{1}{{{{\sin }^2}{\alpha _1}}}$$

Откуда можно выразить $\sin {\alpha _1}$ (отрицательный корень здесь опущен):

$$\sin {\alpha _1} = \sqrt {\frac{1}{{1 + ct{g^2}{\alpha _1}}}}$$

Учитывая (3), имеем:

$$\sin {\alpha _1} = \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{{{{\sin }^2}{\beta _2}}}{{{{\sin }^2}{\beta _1}}}}}}$$

$$\sin {\alpha _1} = \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}{\beta _1}}}{{{{\sin }^2}{\beta _1} + {{\sin }^2}{\beta _2}}}}$$

$$\sin {\alpha _1} = \sin {\beta _1}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}{\beta _1} + {{\sin }^2}{\beta _2}}}}$$

Осталось только полученное выражение подставить в формулу (2):

$${n_2} = \frac{{{n_1}}}{{\sin {\beta _1}}}\sin {\beta _1}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}{\beta _1} + {{\sin }^2}{\beta _2}}}}$$

$${n_2} = {n_1}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}{\beta _1} + {{\sin }^2}{\beta _2}}}}$$

Численный ответ равен:

$${n_2} = 1 \cdot \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}36^\circ + {{\sin }^2}20^\circ }}} = 1,47$$

Ответ: 1,47.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.3.10 Водолазу, находящемуся под водой, кажется, что солнечные лучи падают под углом 60
10.3.12 Палка с изломом посередине погружена в пруд так, что наблюдателю, находящемуся
10.3.13 Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был