Условие задачи:

В системах бензин-воздух и стекло-воздух предельные углы полного внутреннего отражения равны соответственно 45° и 30°. Каков предельный угол полного внутреннего отражения для системы стекло-бензин?

Задача №10.4.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\alpha_{пр1}=45^\circ$, $\alpha_{пр2}=30^\circ$, $\alpha_{пр3}-?$

Решение задачи:

Запишем дважды закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения при переходе светового луча из бензина в воздух и из стекла в воздух (стоит понимать, что явление полного внутреннего отражения наблюдается лишь при переходе из более плотной оптической среды в менее плотную):

$$\left\{ \begin{gathered} {n_1}\sin {\alpha _{пр1}} = {n_0}\sin \beta \hfill \\ {n_2}\sin {\alpha _{пр2}} = {n_0}\sin \beta \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Здесь $\alpha_{пр1}$ и $\alpha_{пр2}$ — соответствующие предельные углы полного внутреннего отражения, $\beta$ — угол преломления, равный в данном случае 90°, $n_0$, $n_1$, $n_2$ — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха $n_0$ равен 1. Тогда, так как $\sin \beta = 1$:

$$\left\{ \begin{gathered} {n_1}\sin {\alpha _{пр1}} = 1 \hfill \\ {n_2}\sin {\alpha _{пр2}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Имеем:

$${n_1}\sin {\alpha _{пр1}} = {n_2}\sin {\alpha _{пр2}}\;\;\;\;(1)$$

Тогда:

$$\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}} = \frac{{\sin {\alpha _{пр2}}}}{{\sin {\alpha _{пр1}}}}\;\;\;\;(2)$$

Это отношение понадобится нам в дальнейшем решении.

Из равенства (1) видно, что так как $\alpha_{пр1} > \alpha_{пр2}$, то ${n_1} < {n_2}$, значит явление полного внутреннего отражения будем наблюдаться при переходе света из стекла в бензин. Учитывая это, ещё раз запишем закон преломления Снеллиуса для случая перехода света из стекла в бензин:

$${n_2}\sin {\alpha _{пр3}} = {n_1}\sin \beta$$

Здесь $\alpha_{пр3}$ — предельный угол полного внутреннего отражения, $\beta$ — угол преломления, равный в данном случае 90°, $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления сред. Тогда, так как $\sin \beta = 1$:

$${n_2}\sin {\alpha _{пр3}} = {n_1}$$

$$\sin {\alpha _{пр3}} = \frac{{{n_1}}}{{{n_2}}}$$

$${\alpha _{пр3}} = \arcsin \left( {\frac{{{n_1}}}{{{n_2}}}} \right)$$

Учитывая равенство (2), окончательно имеем:

$${\alpha _{пр3}} = \arcsin \left( {\frac{{\sin {\alpha _{пр2}}}}{{\sin {\alpha _{пр1}}}}} \right)$$

Задача решена, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

$${\alpha _{пр3}} = \arcsin \left( {\frac{{\sin 30^\circ }}{{\sin 45^\circ }}} \right) = 45^\circ$$

Ответ: 45°.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.4.4 Предельный угол полного внутреннего отражения для льда равен 50°. Определить
10.4.6 В алмазе свет распространяется со скоростью 1,22·10^8 м/с. Определить
10.4.7 Предельный угол полного внутреннего отражения для стекла 45°. Найти скорость