Решение: Точечный источник света находится на расстоянии 40 см от собирающей линзы

Условие задачи:

Точечный источник света находится на расстоянии 40 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 30 см. На каком расстоянии от линзы надо установить экран, чтобы сфокусированный на нем пучок света имел диаметр 2 см? Диаметр линзы 4 см.

Задача №10.5.58 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d=40\) см, \(F=30\) см, \(D_1=2\) см, \(D_2=4\) см, \(l-?\)

Решение задачи:

Покажем общий принцип построения изображения точечного источника света в собирающей линзе. Чтобы построить изображение точечного источника света A в собирающей линзе, нужно провести через точку A луч a, проходящий через крайнюю точку линзы (в общем случае необязательно проводить именно такой луч, но в данной задаче это нужно для решения), этот луч пересечет линзу в точке B. Далее через главный оптический центр проведем прямую b параллельную лучу a, которая пересечет заднюю фокальную плоскость в точке C. Далее необходимо провести через точки B и C прямую c, которая пересечет главную оптическую ось в точке D. Точка D и есть изображение точечного источника света A. Так как экран расположен левее этого изображения, то на нем будет возникать освещенное пятно диамтера \(D_1\).

Из рисунка прекрасно видно, что треугольники OBD и FCD подобны по трем углам, поэтому верно записать:

\[\frac{{{D_1}}}{{{D_2}}} = \frac{{f — l}}{f}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[{D_1}f = {D_2}\left( {f — l} \right)\]

\[{D_1}f = {D_2}f — {D_2}l\]

\[f\left( {{D_2} — {D_1}} \right) = {D_2}l\]

\[l = f\frac{{{D_2} — {D_1}}}{{{D_2}}}\;\;\;\;(1)\]

Запишем формулу тонкой линзы для того, чтобы определить неизвестное расстояние \(f\):

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Выразим из формулы тонкой линзы расстояние \(f\):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{F} — \frac{1}{d}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{{d — F}}{{dF}}\]

\[f = \frac{{dF}}{{d — F}}\;\;\;\;(2)\]

Подставим (2) в формулу (1), так мы получим решение этой задачи в общем виде:

\[l = \frac{{dF}}{{d — F}} \cdot \frac{{{D_2} — {D_1}}}{{{D_2}}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[l = \frac{{0,4 \cdot 0,3}}{{0,4 — 0,3}} \cdot \frac{{0,04 — 0,02}}{{0,04}} = 0,6\;м\]