Решение: Точечный источник света находится на дне сосуда с жидкостью с показателем преломления

Условие задачи:

Точечный источник света находится на дне сосуда с жидкостью с показателем преломления 1,8. Во сколько раз максимальное время прохождения света до выхода в воздух больше минимального?

Задача №10.4.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(n=1,8\), \(\frac{t_2}{t_1}-?\)

Решение задачи:

Если свет движется перпендикулярно дну сосуда, то он проходит минимальное расстояние, равное глубине сосуда \(h\), а значит затрачивает на это минимальное время, которое можно найти по следующей формуле (здесь \(\upsilon\) — скорость света в воде):

\[{t_1} = \frac{h}{\upsilon }\]

Свет пройдет в воде максимальное расстояние, если будет падать на поверхность воды под углом \(\alpha_{пр}\), то есть под углом полного внутреннего отражения. Световые лучи, падающие под большим углом, выходить из воды уже не будут. При этом время движения такого светового луча \(t_2\) можно найти по аналогичной формуле:

\[{t_2} = \frac{l}{\upsilon }\]

Из прямоугольного треугольника следует, что:

\[l = \frac{h}{{\cos {\alpha _{пр}}}}\]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения при переходе светового луча из воды в воздух:

\[n\sin \alpha_{пр} = {n_0}\sin {\beta}\]

Здесь \(\alpha_{пр}\) — предельный угол полного внутреннего отражения, \(\beta\) — угол преломления, равный в данном случае 90°, \(n\) и \(n_0\) — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_0\) равен 1, показатель преломления жидкости \(n\) равен 1,8. Так как \(n_0=1\) и \(\sin \beta_0 = 1\), то:

\[n\sin {\alpha _{пр}} = 1\]

\[\sin {\alpha _{пр}} = \frac{1}{n}\]

\[{\alpha _{пр}} = \arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)\]

Тогда:

\[l = \frac{h}{{\cos \left( {\arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)}}\]

Значит:

\[{t_2} = \frac{h}{{\upsilon \cos \left( {\arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)}}\]

Искомое отношение времен равно:

\[\frac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \frac{1}{{\cos \left( {\arcsin \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)}}\]

Задача решена, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\frac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \frac{1}{{\cos \left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{1,8}}} \right)} \right)}} = 1,2\]