Решение: Собирающая линза дает изображение предмета, увеличенное в 5 раз. Экран придвинули

Условие задачи:

Собирающая линза дает изображение предмета, увеличенное в 5 раз. Экран придвинули к предмету на 50 см, затем переместили линзу так, что предмет на экране получился в натуральную величину. Найти оптическую силу линзы.

Задача №10.5.53 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Gamma_1=5\), \(\Delta z =50\) см, \(\Gamma_2=1\), \(D-?\)

Решение задачи:

Так как c помощью линзы получают действительное изображение предмета на экране, значит мы имеем дело с собирающей линзой, поскольку рассеивающая линза не может давать такого изображения. При этом расстояние от предмета до линзы в обоих случаях должно быть больше фокусного расстояния, т.е. предмет находится левее заднего фокуса линзы (см. рисунки к задаче).

Покажем общий принцип построения изображения в собирающей линзе. Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в данном случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Из рисунков хорошо видно, что:

\[\Delta z = {z_1} — {z_2}\]

Понятно, что расстояние от предмета до экрана \(z\) есть сумма расстояния от предмета до линзы \(d\) и от линзы до экрана \(f\), поэтому:

\[\Delta z = {d_1} + {f_1} — {d_2} — {f_2}\]

Известно, что поперечное увеличение линзы можно найти \(\Gamma\) можно выразить как отношение расстояния от линзы до экрана \(f\) к расстоянию от предмета до линзы \(d\), то есть:

\[\Gamma = \frac{f}{d} \Rightarrow f = \Gamma d\;\;\;\;(1)\]

Тогда:

\[\Delta z = {d_1} + {\Gamma _1}{d_1} — {d_2} — {\Gamma _2}{d_2}\]

\[\Delta z = {d_1}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right) — {d_2}\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)\;\;\;\;(2)\]

Запишем формулу тонкой линзы для собирающей линзы для случая, когда линза дает действительное изображение:

\[D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(3)\]

В этой формуле \(D\) — оптическая сила линзы, это положительная величина, поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Запишем формулу (3) для двух случаев, описанных в условии задачи:

\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{f_1}}} \hfill \\
D = \frac{1}{{{d_2}}} + \frac{1}{{{f_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Учитывая (1), система примет вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{\Gamma _1}{d_1}}} \hfill \\
D = \frac{1}{{{d_2}}} + \frac{1}{{{\Gamma _2}{d_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{{{\Gamma _1} + 1}}{{{\Gamma _1}{d_1}}} \;\;\;\;(4)\hfill \\
D = \frac{{{\Gamma _2} + 1}}{{{\Gamma _2}{d_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Имеем следующее уравнение:

\[\frac{{{\Gamma _1} + 1}}{{{\Gamma _1}{d_1}}} = \frac{{{\Gamma _2} + 1}}{{{\Gamma _2}{d_2}}}\]

Выразим отсюда \(d_2\):

\[{d_2} = \frac{{{\Gamma _1}{d_1}\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

Полученное выражение подставим в (2):

\[\Delta z = {d_1}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right) — \frac{{{\Gamma _1}{d_1}{{\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)}^2}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

Приведем в правой части под общий знаменатель:

\[\Delta z = \frac{{{\Gamma _2}{d_1}{{\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}^2} — {\Gamma _1}{d_1}{{\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)}^2}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

\[\Delta z = {d_1}\frac{{{\Gamma _2}{{\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}^2} — {\Gamma _1}{{\left( {{\Gamma _2} + 1} \right)}^2}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

Раскроем скобки в числителе правой части:

\[\Delta z = {d_1}\frac{{{\Gamma _2}\Gamma _1^2 + 2{\Gamma _1}{\Gamma _2} + {\Gamma _2} — {\Gamma _1}\Gamma _2^2 — 2{\Gamma _1}{\Gamma _2} — {\Gamma _1}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

\[\Delta z = {d_1}\frac{{{\Gamma _2}\Gamma _1^2 + {\Gamma _2} — {\Gamma _1}\Gamma _2^2 — {\Gamma _1}}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

\[\Delta z = {d_1}\frac{{{\Gamma _1}{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} — {\Gamma _2}} \right) — \left( {{\Gamma _1} — {\Gamma _2}} \right)}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

\[\Delta z = {d_1}\frac{{\left( {{\Gamma _1}{\Gamma _2} — 1} \right)\left( {{\Gamma _1} — {\Gamma _2}} \right)}}{{{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

Откуда выразим \(d_1\):

\[{d_1} = \frac{{\Delta z{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}{{\left( {{\Gamma _1}{\Gamma _2} — 1} \right)\left( {{\Gamma _1} — {\Gamma _2}} \right)}}\]

Осталось только полученное выражение подставить в уравнение (4):

\[D = \frac{{\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)\left( {{\Gamma _1}{\Gamma _2} — 1} \right)\left( {{\Gamma _1} — {\Gamma _2}} \right)}}{{{\Gamma _1}\Delta z{\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

\[D = \frac{{\left( {{\Gamma _1}{\Gamma _2} — 1} \right)\left( {{\Gamma _1} — {\Gamma _2}} \right)}}{{\Delta z{\Gamma _1}{\Gamma _2}}}\]

Посчитаем численный ответ данной задачи:

\[D = \frac{{\left( {5 \cdot 1 — 1} \right)\left( {5 — 1} \right)}}{{0,5 \cdot 5 \cdot 1}} = 6,4\;дптр\]