Условие задачи:

Собирающая линза дает двукратное изображение предмета. Когда линзу придвинули на 20 см к предмету, увеличение стало пятикратным. Найти оптическую силу линзы.

Задача №10.5.54 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\Gamma_1=2\), \(\Delta d=20\) см, \(\Gamma_2=5\), \(D-?\)

Решение задачи:

Мы имеем дело с собирающей линзой, поскольку рассеивающая линза не может давать увеличенного изображения. При этом расстояние от предмета до линзы в обоих случаях должно быть больше фокусного расстояния, т.е. предмет находится левее заднего фокуса линзы (так как при уменьшении расстояния от линзы до предмета в случае \({d} < {F}\) поперечное увеличение линзы, даваемое линзой, будет уменьшаться).

Покажем общий принцип построения изображения в собирающей линзе. Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в данном случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы для собирающей линзы для случая, когда линза дает действительное изображение:

\[D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(D\) — оптическая сила линзы, это положительная величина, поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Запишем формулу (1) для двух случаев, описанных в условии задачи:

\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{1}{d} + \frac{1}{{{f_1}}} \hfill \\
D = \frac{1}{{d — \Delta d}} + \frac{1}{{{f_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Известно, что поперечное увеличение линзы можно найти \(\Gamma\) можно выразить как отношение расстояния от линзы до экрана \(f\) к расстоянию от предмета до линзы \(d\), то есть:

\[\Gamma = \frac{f}{d} \Rightarrow f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Учитывая (2), система примет вид:

\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{1}{d} + \frac{1}{{{\Gamma _1}d}} \hfill \\
D = \frac{1}{{d — \Delta d}} + \frac{1}{{{\Gamma _2}\left( {d — \Delta d} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
D = \frac{{{\Gamma _1} + 1}}{{{\Gamma _1}d}} \;\;\;\;(3)\hfill \\
D = \frac{{{\Gamma _2} + 1}}{{{\Gamma _2}\left( {d — \Delta d} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Имеем следующее уравнение:

\[\frac{{{\Gamma _1} + 1}}{{{\Gamma _1}d}} = \frac{{{\Gamma _2} + 1}}{{{\Gamma _2}\left( {d — \Delta d} \right)}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[{\Gamma _1}d\left( {{\Gamma _2} + 1} \right) = {\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)\left( {d — \Delta d} \right)\]

\[{\Gamma _1}d\left( {{\Gamma _2} + 1} \right) = {\Gamma _2}\left( {{\Gamma _1}d — {\Gamma _1}\Delta d + d — \Delta d} \right)\]

Раскроем все скобки в обеих частях уравнения:

\[{\Gamma _1}{\Gamma _2}d + {\Gamma _1}d = {\Gamma _1}{\Gamma _2}d — {\Gamma _1}{\Gamma _2}\Delta d + {\Gamma _2}d — {\Gamma _2}\Delta d\]

\[{\Gamma _1}{\Gamma _2}\Delta d + {\Gamma _2}\Delta d = {\Gamma _2}d — {\Gamma _1}d\]

\[{\Gamma _2}\Delta d\left( {{\Gamma _1} + 1} \right) = d\left( {{\Gamma _2} — {\Gamma _1}} \right)\]

\[d = \frac{{{\Gamma _2}\Delta d\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}{{{\Gamma _2} — {\Gamma _1}}}\]

Осталось только полученное выражение подставить в уравнение (3):

\[D = \frac{{{\Gamma _1} + 1}}{{{\Gamma _1}}} \cdot \frac{{{\Gamma _2} — {\Gamma _1}}}{{{\Gamma _2}\Delta d\left( {{\Gamma _1} + 1} \right)}}\]

\[D = \frac{{{\Gamma _2} — {\Gamma _1}}}{{{\Gamma _1}{\Gamma _2}\Delta d}}\]

Посчитаем численный ответ данной задачи:

\[D = \frac{{5 — 2}}{{2 \cdot 5 \cdot 0,2}} = 1,5\;дптр\]

Ответ: 1,5 дптр.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.5.53 Собирающая линза дает изображение предмета, увеличенное в 5 раз. Экран придвинули
10.5.55 Расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения предмета одинаковы
10.5.56 От предмета высотой 20 см при помощи линзы получили действительное изображение