Решение: С помощью линзы на экране получено изображение в 4 раза по площади больше самого

Условие задачи:

С помощью линзы на экране получено изображение в 4 раза по площади больше самого предмета. Предмет удален от линзы на 30 см. Найти фокусное расстояние линзы.

Задача №10.5.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S_и=4S_п\), \(d=30\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

Если изображение предмета в 4 раза по площади больше самого предмета (\(S_и=4S_п\)), значит поперечное увеличение линзы равно \(\Gamma = 2\). Линза создает изображение подобное предмету. Из курса геометрии известно, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, а этим самым коэффициентом является поперечное увеличение линзы \(\Gamma\).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в данном случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и увеличенным (\(\Gamma > 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Поперечное увеличение предмета в линзе \(\Gamma\) определяют по формуле (это можно вывести из подобия треугольников AOB и A₁OB₁):

\[\Gamma = \frac{f}{d}\]

Тогда:

\[f = \Gamma d\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{\Gamma d}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{{\Gamma + 1}}{{\Gamma d}}\]

Откуда получим такую окончательную формулу:

\[F = \frac{{\Gamma d}}{{\Gamma + 1}}\]

Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):

\[F = \frac{{2 \cdot 0,3}}{{2 + 1}} = 0,2\;м = 20\;см\]