Решение: Расстояние от освещенного предмета до экрана 100 см. Линза, помещенная между ними

Условие задачи:

Расстояние от освещенного предмета до экрана 100 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета на экране при двух положениях, расстояние между которыми 20 см. Найти фокусное расстояние линзы.

Задача №10.5.50 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(z=100\) см, \(\Delta d=20\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

Так как c помощью линзы получают действительное изображение предмета на экране, значит мы имеем дело с собирающей линзой, поскольку рассеивающая линза не может давать такого изображения. При этом расстояние от предмета до линзы в обоих случаях должно быть больше фокусного расстояния, т.е. предмет находится левее заднего фокуса линзы (см. рисунки к задаче).

Покажем общий принцип построения изображения в собирающей линзе. Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе в данном случае, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы для собирающей линзы для случая, когда линза дает действительное изображение:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Запишем формулу (1) для двух случаев, описанных в условии задачи, учитывая, что расстояние до предмета до изображения \(z\) всегда есть сумма расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения:

\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{z — d}} \;\;\;\;(2)\hfill \\
\frac{1}{F} = \frac{1}{{d — \Delta d}} + \frac{1}{{z — d + \Delta d}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В правых частях этих двух уравнений приведем под общий знаменатель:

\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{1}{F} = \frac{z}{{d\left( {z — d} \right)}} \hfill \\
\frac{1}{F} = \frac{z}{{\left( {d — \Delta d} \right)\left( {z — d + \Delta d} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда мы имеем:

\[\frac{z}{{d\left( {z — d} \right)}} = \frac{z}{{\left( {d — \Delta d} \right)\left( {z — d + \Delta d} \right)}}\]

\[d\left( {z — d} \right) = \left( {d — \Delta d} \right)\left( {z — d + \Delta d} \right)\]

Раскроем скобки в обеих частях полученного уравнения:

\[dz — {d^2} = dz — {d^2} + d\Delta d — z\Delta d + d\Delta d — \Delta {d^2}\]

\[2d\Delta d — z\Delta d — \Delta {d^2} = 0\]

Так как \(\Delta d \ne 0\), сократим на \(\Delta d\):

\[2d — z — \Delta d = 0\]

Откуда получим:

\[d = \frac{{z + \Delta d}}{2}\;\;\;\;(3)\]

Определим, чему равно \(z — d\), это понадобится в дальнейшем решении:

\[z — d = \frac{{2z}}{2} — \frac{{z + \Delta d}}{2}\]

\[z — d = \frac{{z — \Delta d}}{2}\;\;\;\;(4)\]

Учитывая равенства (3) и (4), формула (2) примет вид:

\[\frac{1}{F} = \frac{2}{{z + \Delta d}} + \frac{2}{{z — \Delta d}}\]

В правой части приведем под общий знаменатель:

\[\frac{1}{F} = \frac{{2\left( {z — \Delta d} \right) + 2\left( {z + \Delta d} \right)}}{{\left( {z + \Delta d} \right)\left( {z — \Delta d} \right)}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{{2z — 2\Delta d + 2z + 2\Delta d}}{{{z^2} — \Delta {d^2}}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{{4z}}{{{z^2} — \Delta {d^2}}}\]

Окончательно получим такое решение задачи в общем виде:

\[F = \frac{{{z^2} — \Delta {d^2}}}{{4z}}\]

Численный ответ задачи равен:

\[F = \frac{{{1^2} — {{0,2}^2}}}{{4 \cdot 1}} = 0,24\;м\]