Решение: Предмет находится на расстоянии 8 см от переднего фокуса линзы, а его изображение

Условие задачи:

Предмет находится на расстоянии 8 см от переднего фокуса линзы, а его изображение на экране — на расстоянии 18 см от заднего фокуса. Найдите фокусное расстояние линзы.

Задача №10.5.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(a=8\) см, \(b=18\) см, \(F-?\)

Решение задачи:

Легко догадаться, что в данном случае мы имеем дело с собирающей линзой. Почему? Дело в том, что действительное изображение на экране может давать только собирающая линза. Также понятно, что:

предмет находится левее переднего фокуса линзы, ведь в в противном случае линза уже давала бы мнимое изображение, а на экране можно получить только действительное изображение;
изображение находится правее заднего фокуса линзы, так как в собирающей линзе действительное изображение не может получится между линзой и задним фокусом.

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из рисунка понятно, что расстояния \(d\) и \(f\) можно найти по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
d = F + a \hfill \\
f = F + b \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В таком случае формула (1) примет вид:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{{F + a}} + \frac{1}{{F + b}}\]

Приведем под общий знаменатель в правой части этого уравнения:

\[\frac{1}{F} = \frac{{F + b + F + a}}{{\left( {F + a} \right)\left( {F + b} \right)}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{{2F + a + b}}{{\left( {F + a} \right)\left( {F + b} \right)}}\]

Раскроем скобки в знаменателе дроби справа:

\[\frac{1}{F} = \frac{{2F + a + b}}{{{F^2} + \left( {a + b} \right)F + ab}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[2{F^2} + \left( {a + b} \right)F = {F^2} + \left( {a + b} \right)F + ab\]

\[{F^2} = ab\]