Решение: Предмет находится на расстоянии 1,5F от линзы. Его приблизили к линзе на расстояние 0,7F

Условие задачи:

Предмет находится на расстоянии 1,5F от линзы. Его приблизили к линзе на расстояние 0,7F. На сколько при этом переместилось изображение предмета? Оптическая сила линзы -2,4 дптр.

Задача №10.5.42 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(d_1=1,5F\), \(d_2 = 0,7F\), \(D=-2,4\) дптр, \(\Delta f-?\)

Решение задачи:

В данном случае мы имеем дело с рассеивающей линзой, поскольку её оптическая сила отрицательная.

Нам нужно построить изображение предмета для двух разных случаев (при различном расстоянии от предмета до линзы \(d\)). Общий алгоритм построения приведен ниже.

Чтобы построить изображение точки A в рассеивающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пойдет дальше таким образом, что его продолжение влево пройдет через передний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось мнимым (поскольку получается на расходящемся пучке лучей), прямым и уменьшенным (\(\Gamma < 1\)).

Запишем формулу тонкой линзы:

\[ — \frac{1}{F} = \frac{1}{d} — \frac{1}{f}\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «-«, поскольку линза — рассеивающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «-«, поскольку изображение — мнимое (то есть образуется на расходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Тогда:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{F}\]

Приведем в правой части под общий знаменатель:

\[\frac{1}{f} = \frac{{d + F}}{{dF}}\]

Тогда:

\[f = \frac{{dF}}{{d + F}}\]

Запишем полученную формулу для определения расстояний от изображения до линзы \(f_1\) и \(f_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{f_1} = \frac{{1,5F \cdot F}}{{1,5F + F}} \hfill \\
{f_2} = \frac{{0,7F \cdot F}}{{0,7F + F}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[\left\{ \begin{gathered}
{f_1} = \frac{3}{5}F \hfill \\
{f_2} = \frac{7}{{17}}F \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из рисунка к задаче хорошо видно, что искомое расстояние \(\Delta f\) равно:

\[\Delta f = {f_1} — {f_2}\]

\[\Delta f = \frac{3}{5}F — \frac{7}{{17}}F\]

\[\Delta f = \frac{{51 — 35}}{{85}}F\]

\[\Delta f = \frac{{16}}{{85}}F\]

Оптическая сила \(D\) связана с фокусным расстоянием \(F\) по формуле:

\[D = \frac{1}{F} \Rightarrow F = \frac{1}{D}\]

Окончательно имеем:

\[\Delta f = \frac{{16}}{{85D}}\]

Если подставить в эту формулу значения величин из условия задачи, то мы получим ответ (не забываем переводить эти значения в систему СИ):

\[\Delta f = \frac{{16}}{{85 \cdot 2,4}} = 0,08\;м = 8\;см\]