Решение: Определить угол преломления луча, если при переходе из воздуха в этиловый спирт

Условие задачи:

Определить угол преломления луча, если при переходе из воздуха в этиловый спирт угол между отраженным и преломленным лучами равен 120°.

Задача №10.3.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\gamma = 120^\circ$ , $\beta-?$

Решение задачи:

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

${n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta\;\;\;\;(1)$

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — угол падения и угол преломления соответственно, $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха $n_1$ равен 1, показатель преломления этилового спирта (этанола) $n_2$ равен 1,36.

По условию задачи угол между отраженным и преломленным лучами равен $\gamma$ , поэтому понятно, что:

$\alpha + \beta = 180^\circ — \gamma$

То есть:

$\alpha = \left( {180^\circ — \gamma } \right) — \beta$

Тогда формула (1) примет следующий вид:

${n_1}\sin \left( {\left( {180^\circ — \gamma } \right) — \beta } \right) = {n_2}\sin \beta$

Раскроем синус разности в левой части этого уравнения:

${n_1}\sin \left( {180^\circ — \gamma } \right)\cos \beta — {n_1}\sin \beta \cos \left( {180^\circ — \gamma } \right) = {n_2}\sin \beta$

Перенесем все в левую часть:

${n_1}\sin \left( {180^\circ — \gamma } \right)\cos \beta — {n_1}\sin \beta \cos \left( {180^\circ — \gamma } \right) — {n_2}\sin \beta = 0$

Так как $\sin \left( {180^\circ — \gamma } \right) = \sin \gamma$ и $\cos \left( {180^\circ — \gamma } \right) = — \cos \gamma$ , то:

${n_1}\sin \gamma \cos \beta + {n_1}\sin \beta \cos \gamma — {n_2}\sin \beta = 0$

Сгруппируем:

$\left( {{n_1}\cos \gamma — {n_2}} \right)\sin \beta + {n_1}\sin \gamma \cos \beta = 0$

Выражения вида $A\sin x + B\cos x$ приводятся к виду $C\sin \left( {x + t} \right)$ , где $C = \sqrt {{A^2} + {B^2}}$ и $t = arctg\frac{B}{A}$ . Поэтому:

$\sqrt {{{\left( {{n_1}\cos \gamma — {n_2}} \right)}^2} + {{\left( {{n_1}\sin \gamma } \right)}^2}} \sin \left( {\beta + arctg\frac{{{n_1}\sin \gamma }}{{{n_1}\cos \gamma — {n_2}}}} \right) = 0$