Решение: Найти наименьшее возможное расстояние между светящимся предметом и его

Условие задачи:

Найти наименьшее возможное расстояние между светящимся предметом и его действительным изображением в собирающей линзе с фокусным расстоянием $F=2$ см.

Задача №10.5.32 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$F=2$ см, $z_{\min}-?$

Решение задачи:

Предмет находится левее переднего фокуса линзы, то есть ${d} > {F}$ , поскольку именно в этом случае собирающая линза даст действительное изображение (смотрите рисунок к задаче).

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)$

В этой формуле $F$ — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, $d$ — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), $f$ — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из рисунка видно, что данное в условии расстояние между предметом и экраном (изображением) $z$ можно выразить следующим образом:

$z = d + f$

Имеем:

$f = z — d\;\;\;\;(2)$

Тогда уравнение (1) с учетом выражения (2) примет вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{z — d}}$

Приведем правую часть уравнения под общий знаменатель:

$\frac{1}{F} = \frac{{z — d + d}}{{d\left( {z — d} \right)}}$

$\frac{1}{F} = \frac{z}{{d\left( {z — d} \right)}}$

Перемножим «крест-накрест», раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:

$zF = d\left( {z — d} \right)$

$zF = dz — {d^2}$

${d^2} — zd + zF = 0$

Чтобы полученное квадратное уравнение относительно $d$ имело хоть какой-нибудь корень, его дискриминант $D_{диск}$ должен быть больше или равен нулю:

${D_{диск}} = {z^2} — 4zF$

${z^2} — 4zF \geq 0$

$z\left( {z — 4F} \right) \geq 0$

При решении мы получим следующую совокупность:

$\left[ \begin{gathered} z \leq 0 \hfill \\ z \geq 4F \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Понятно, что расстояние между предметом и линзой не может быть отрицательным, поэтому искомое минимальное расстояние между предметом и линзой $z_{\min}$ равно:

${z_{\min }} = 4F$

Посчитаем численный ответ задачи:

${z_{\min }} = 4 \cdot 0,02 = 0,08\;м$